Alternoiva ryhmä
Wikipedia
Alternoiva ryhmä on äärellisen joukon permutaatioiden ryhmä. Joukon {1,...,n} alternoivaa ryhmää kutsutaan astetta n olevaksi alternoivaksi ryhmäksi ja sitä merkitään An tai Alt(n).
Esimerkiksi astetta neljä oleva alternoiva ryhmä on A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
[muokkaa] Perusominaisuuksia
Kun n > 1, ryhmä An on symmetrisen ryhmän normaali aliryhmä, jonka indeksi on 2 ja jossa on siten n!/2 alkiota. Se on homomorfismin sgn : Sn → {1, −1} ydin.
Ryhmä An on Abelin ryhmä jos ja vain jos n ≤ 3 ja yksinkertainen jos ja vain jos n = 3 tai n ≥ 5 . A5 on pienin ei-Abelin yksinkertainen ryhmä. Sen kertaluku on 60 ja se on pienin ei-ratkeava ryhmä.
[muokkaa] Automorfismiryhmä
Kun n > 3 paitsi n = 6, An:n automorfismiryhmä on symmetrinen ryhmä Sn sisäisenä automorfismiryhmänään An ja ulkoisena automorfismiryhmänään Z2.
Kun n = 1 tai 2, on automorfismiryhmä triviaali. Kun n = 3, automorfismiryhmä on Z2, sisäinen automorfismiryhmä on triviaali ja ulkoinen automorfismiryhmä Z2.
A6:n ulkoinen automorfismiryhmä on Z22. Ylimääräinen A6:n ulkoinen automorfismi vaihtaa 3-syklit (kuten (123)) 32-tyyppisiksi sykleiksi (kuten (123)(456)).