Alkio (joukko-oppi)
Wikipedia
Alkio (myös elementti tai jäsen) on joukko-opissa joukon sisältämä objekti.
Sisällysluettelo |
[muokkaa] Joukko-oppi ja alkiot
Joukossa A = {1, 2, 3, 4} on neljä alkiota: 1, 2, 3 ja 4. Näiden muodostamat ryhmät, esimerkiksi {1, 2} ja {3}, ovat A:n osajoukkoja.
Joukon alkiot voivat olla mitä tahansa olioita. Esimerkiksi joukossa C = {Kasper, Jesper, Joonatan} on kolme alkiota: Kasper, Jesper ja Joonatan. Joukon alkiot voivat olla myös joukkoja. Esimerkiksi joukon B = {1, 2, {3, 4} } alkiot eivät ole 1, 2, 3 ja 4, vaan joukossa on kolme alkiota: luvut 1 ja 2 sekä joukko {3, 4}.
[muokkaa] Merkitseminen
Relaatiota "kuuluu joukkoon" merkitään merkillä ∈. Esimerkiksi x ∈ A tarkoittaa, että x on joukon A alkio. Voidaan myös sanoa, että "x on joukossa A" tai "A sisältää x:n". Jos x ei kuulu joukkoon A, se merkitään x ∉ A.
Tyhjä joukko on joukko, jossa ei ole yhtään alkiota. Tyhjää joukkoa merkitään :lla tai {}:lla.
[muokkaa] Joukkojen mahtavuus
Joukon alkioiden lukumäärää kutsutaan mahtavuudeksi. Esimerkiksi edellä määritellyn joukon A mahtavuus on 4, joukkojen B ja C taas 3. Joukon mahtavuus voi olla myös ääretön. Tällainen joukko on esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko.
[muokkaa] Esimerkkejä
Yllä olevien joukkojen mukaisesti:
- 2 ∈ A
- {3, 4} ∈ B
- {3, 4} on joukon B alkio
- 3 ∉ B
- Joukon D = {2, 4, 6, 8, 10, 12} mahtavuus on 6.
- Joukon P = {2, 3, 5, 7, 11, 13...} (alkuluvut) mahtavuus on ääretön.