0,999...

Wikipedia

Matematiikassa luku 0,999... (merkitään myös $0{,}\bar{9}$ tai $0{,}\dot{9}$ ) on päättymätön jaksollinen desimaaliluku, joka on tasan yhtä suuri kuin luku 1. Poikkeavan merkintätavan vuoksi monen on ollut vaikea mieltää, että luku on sama kuin 1. Se seuraa kuitenkin melko suoraan reaalilukujen täydellisyysaksioomasta. Mikäli luottaa laskusääntöjen toimivuuteen, voi yhtäläisyyden todistaa myös yksinkertaisella koulumatematiikalla.

Se, että luvulla 1 on useampi kuin yksi esitystapa, ei ole mitenkään erikoista. Erinäköisillä luvuilla voi olla sama arvo, esimerkiksi 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3 = ³/₁ ja niin edelleen.

[muokkaa] Todistuksia

[muokkaa] Murtolukutodistus

$\begin{align} 0{,}333\dots &= \frac{1}{3} \qquad \vert \times 3 \\ 0{,}999\dots &= \frac{3}{3} \\ 0{,}999\dots &= 1 \end{align}$

[muokkaa] Algebrallinen todistus

$\begin{align} x &= 0{,}999\ldots \qquad \vert \times 10 \\ 10 x &= 9{,}999\ldots \qquad \vert - x \\ 10 x - x &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots \\ 9 x &= 9 \\ x &= 1 \\ 0{,}999\dots &= 1 \end{align}$

[muokkaa] Geometriseen sarjaan perustuva todistus

$\begin{align} 0{,}999\dots &= 9 \cdot 10^{-1} + 9 \cdot 10^{-2} + 9 \cdot 10^{-3} + \dots \\ &= 9 \cdot (10^{-1} + 10^{-2} + 10^{-3} + \dots) \\ &= 9 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^n} \\ &= 9 \cdot \frac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}} = 9 \cdot\frac{1}{9} = 1. \end{align}$

Tämä todistus tosin edellyttäisi geometrisen sarjan summakaavan todistamisen, mutta se voidaan tässä yhteydessä sivuuttaa.

[muokkaa] Täydellisyysaksioomaan perustuva todistusidea

Reaalilukujen täydellisyysaksiooman mukaan jokaisella ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolla on reaalilukujen joukossa pienin yläraja eli supremum, joka on helppo osoittaa yksikäsitteiseksi. Tarkastelemalla joukkoa {0,9, 0,99, 0,999, ...} voidaan todeta, että se on ylhäältä rajoitettu, ja esimerkiksi antiteesillä osoittaa, että sen supremumeja ovat sekä 0,999... että 1. Supremumin yksikäsitteisyydestä seuraa tällöin että 0,999... = 1. Rationaalilukujen joukossa täydellisyysaksiooma ei päde, mutta koska 1 ja 0,999... ovat rationaalilukuja, yleistyy tulos automaattisesti myös rationaalilukujen joukkoon.