نظریه طبیعی مجموعهها
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
فهرست مندرجات |
[ویرایش] مقدمه
عبارت نظریه طبیعی مجموعهها یا نظریه شهودی مجموعه ها، که نباید آن را با نظریه اصل موضوعی مجموعهها اشتباه گرفت، در سالهای حدود 1940 گه گاه مورد استفاده قرار می گرفت و در سال 1950 رسماً مورد استفاده قرار گرفت. در ریاضیات محض، نظریه طبیعی مجموعهها اولین پیشرفت و گسترش در نظریه مجموعه ها است، که بعدها به صورت دقیق تر در قالب نظریه اصل موضوعی مجموعهها بیان شد.
نظریه طبیعی مجموعهها بر پایه یک درک غیر رسمی و بی قاعده از مفهوم مجموعه به عنوان گردایه ای از اشیا (که عنــصر یا عضو گفته می شوند) استوار بود، در حالی که نظریه اصل موضوعی مجموعهها تنها از واقعیتهایی در مورد مجموعهها و عضویت استفاده میکند که از طریق یک تعداد اصول موضوع تعریف شده قابل اثبات بودند و یکی از اهداف تنظیم این اصول موضوع (نه تمام هدف آنها) دوری از پارادکسهایی است در این زمینه مطرح شده اند(ر.ک به پارادکس های نظریه مجموعه ها) بود، چرا که نظریه طبیعی مجموعه ها در آغاز کار خود با پارادکس های متعددی از جمله پارادکس معروف راسل مواجه شد.
در ریاضیات مجموعهها بسیار اهمیت داردند؛ در واقع در ریاضیات جدید، بخش عمده ای از ابزارهای ریاضی همچون اعداد،رابطه ها،توابع و غیره بر پایه مجموعه ها تعریف شده اند.
[ویرایش] نظریه طبیعی مجموعهها
نظریه طبیعی مجموعهها در اواخر قرن نوزدهم بوسیله جرج کانتور پایه گذاری شد تا به ریاضیدانان اجازه دهد که با مجموعههای نامتناهی کار کنند.نتیجه چنین نظریهای این بود که میتوان بر روی مجموعهها هر عملی را بدون محدودیت انجام داد یا هر مجموعهای را بدون محدودیت در نظر گرفت که این ما را به سوی پارادکس هایی چون پارادکس راسل سوق می دهد.
در حقیقت در ادامه گسترش این نظریه این سوال برای ریاضیدانان پیش آمد که آیا چیزهایی که به عنوان مجموعه در نظر گرفته می شوند، واقعاً مجموعه هستند؟ چه چیزی را میتوان به عنوان مجموعه در نظر گرفت و چه چیزی را نمیتوان؟ معیار اینکه بگوییم یک شی ریاضی مجموعه است یا نه چیست؟
در جواب به این پرسشهای اساسی، نظریه اصل موضوعی مجموعهها گسترش یافت که در آن تعدادی اصل موضوع مطرح میشود و سایر نتیجهگیریها و قضایای موجود بر اساس این اصول استخراج میشوند و به طور دقیق معلوم میشود که چه اعمالی را میتوان در مجموعهها انجام داد و چه چیزی را میتوان به عنوان یک مجموعه در نظر گرفت.
امروزه وقتی ریاضیدانان از نظریه مجموعه ها به عنوان یک شاخه ریاضیات صحبت می کنند، به صورت معمول منظور آنها نظریه اصل موضوعی مجموعهها است. در استفاده های غیر رسمی از نظریه مجموعه ها در رشته های دیگر همانند رشته های مهندسی، معمولا از نظریه طبیعی مجموعهها استفاده می شود.
البته لازم به توضیح است که برخی معتقدند که نظریه مجموعههای جرج کانتور عملاً در گیر پارادکسها نمیشود که خود مطلبی قابل بحث است. او از برخی از این پارادکسها آگاه بود ولی آنها را بیان نکرد چرا که معتقد بود این پارادکسها نظریه مجموعههای او را بیاعتبار میسازد. اطمینان در مورد این مطلب دشوار است چرا که او اصل موضوع یا قاعدهای را بیان نکرده است.
فرگه به صورت صریح یک نظریه اصل موضوعی و با قاعده ارائه داد که می توان آن را به عنوان شکل فرمول بندی شده نظریه طبیعی مجموعهها دانست که این همان تئوری فرمول بندی شده است که برتراند راسل هنگامی که پارادکس خود پارادکس راسل را بیان کرد به این تئوری استناد کرد.
[ویرایش] اهمیت نظریه طبیعی مجموعه ها
مطالعه مجموعهها از دیدگاه طبیعی (یا به عبارت دیگر مطالعه به صورت غیر صوری) به منظور بررسی و گسترش کاربردهای مجموعهها و امکاناتی که برای کار به ما در ریاضیات می دهند بسیار مفید است. بعلاوه دانستن مفاهیم نظریه مجموعهها از دیدگاه طبیعی به عنوان قدم اول در فهم نظریه اصل موضوعی مجموعهها، دارای اهمیت است.
در نظریه طبیعی مجموعهها و مطالعه مجموعهها از دیدگاه شهودی، به اینکه واقعاً مفهوم مجموعه چیست؟ و چه اصول موضوعی برای آن میتوان تعریف کرد؟ کاری نداریم و فرض میکنید فردی که مجموعه ها را به صورت طبیعی مطالعه میکند یک درک معمولی و شهودی(و قالبا نادرست) از مجموعهها را داراست، و در اینجا هدف از تشریح نظریه توصیف کارهایی است که با مجموعهها به عنوان یک ابزار ریاضی میتوان انجام داد. همانند خط و نقطه در هندسه که ما از آنها تعریفی ارائه نمیدهیم و به بررسی کارهایی که با این ابزارها می توان انجام داد می پردازیم.
در انتها به این نکته توجه کنید که نظریه طبیعی مجموعه ها همواره به نظریه ناسازگار فرگه یا کانتور اطلاق نمیشود. این نظریه میتواند به نظریه مجموعهها به صورت غیر رسمی و دقیق اشاره داشته باشد، مانند کتاب معروف پل ریچارد هالموس، « نظریه طبیعی مجموعهها » که در آن مقداری به بیان غیر رسمی نظریه اصل موضوعی مجموعهها پرداخته است. ما در اینجا سعی میکنیم به اصول موضوعی که در زمینه مجموعهها بیان شده اند هم اشاره کنیم و در مواقع لازم خواننده را به آنها ارجاع دهیم.
[ویرایش] مجموعهها، عضویت و تساوی
در نظریه طبیعی مجموعه ها، مجموعه به عنوان یک دسته از اشیا مشخص توصیف می شوند. به این اشیا که مجموعه را تشکیل می دهند اعضا(members) یا عناصر(elements) مجموعه میگوییم. عضوهای مجموعه میتوانند هر چیزی باشند: اعداد، افراد جامعه،مجموعهها و ... . به عنوان مثال عدد 4 یک عضو از مجموعه اعداد صحیح است. بوضوح مجموعه اعداد زوج مجموعه ای بزرگ و نا متناهی است؛ که این نشان میدهد نیازی نیست که مجموعه متناهی باشد(تعداد متناهی عضو اشته باشد).
اگر x یک شی متعلق به مجموعه دلخواه A باشد می گوییم « مجموعه A شامل عضو x است » یا «x متعلق به مجموعه A است. » در این صورت می نویسیم x∈A که نماد تعلق یا عضویت است(membership) که از حرف اپسیلون یونانی ε گرفته شده و بوسیله پئانو معرفی شده است. اگر x عضوی از مجموعه A نباشد مینویسم .
دو مجموعه مفروض A و B باهم برابر هستند هرگاه دقیقا عضوهایشان یکسان باشد. به بیان دیگر هر عضو دلخواه در مجموعه A در مجموعه B باشد و هر عضو دلخواه در B در مجموعه A موجود باشد.(ر.ک اصل موضوع گسترش) .
بنابراین مجموعه به صورت کامل با اعضایش مشخص میشود. به عنوان مثال مجموعه اعداد 2,3,5 با مجموعه تمام اعداد اول کوچکتر از 6 برابر است. اگر A و B دو مجموعه برابر باشند می نویسیم: A=B.
مجموعه ای هم وجود دارد که دارای هیچ عضوی نمیباشد و به آن مجموعه تهی(empty set) یا پوچ(null set) میگوییم و آن را با نماد { } یا نشان میدهیم.از آنجا که مجموعه دقیقاًً با اعضایش شناخته می شود می توان یکتا بودن مجموعه تهی را تضمین کرد.(ر.ک اصل موضوع مجموعه تهی)
[ویرایش] مشخص نمودن یک مجموعه
معمولا یک مجموعه را در صورت امکان بوسیله نوشتن اعضایش میان دو آکولاد { } مشخص میکنند که این روش روش تفضیلی یا نمایش با اعضا نام دارد. به این ترتیب مجموعه {a,b} مجموعه ای است که در آن a و b دو عضو مجموعه میباشند. در نمایش مجموعه به دو نکته توجه داشته باشید:
- در نمایش عضوهای یک مجموعه ترتیب اعضا اهمیت ندارد و لذا: {b,a}={a,b}
- در نمایش مجموعه ها تکرار اعضا در مجموعه تغییر ایجاد نمیکند و مجموعه جدیدی را ایجاد نمیکند. به عنوان مثال: {a,b}={a,b,b}={a,a,b}
همچنین میتوان یک مجموعه را با بیان خاصیت مشترک میان اعضا مشخص نمود. برای این منظور از نماد مجموعه ساز {(x:P(x} یا {(x|P(x} استفاده میکنیم که مفهوم آن عبارت است از مجموعه همه عناصری مانند x که شرط (P(x برای آنها برقرار است یا به عبارت دیگر گزاره نما (P(x برای آنها به گزارهای درست تبدیل می شود. به عنوان مثال مجموعه{x عددی حقیقی است :x} مجموعه اعداد حقیقی را معین میکند و مجموعه {n عددی طبیعی;x: x=2n} مجموعه اعداد طبیعی زوج را معین می کند.
این شیوه نمایش مجموعهها نمایش با علایم ریاضی یا نمایش توصیفی نامیده میشود و بیشتر برای مجموعههای نامتناهی و یا مجموعه هایی که با اعضا قابل نمایش نمی باشند به کار می رود.
- نمونه های زیر بیانگر حالات مختلف نمایش مجموعه ها با علایم ریاضی است:
- به مجموعه همه عضوهای متعلق به مجموعه A که دارای شرط (P(x هستند اشاره دارد. به عنوان مثال اگر مجموعه اعداد صحیح باشد، مجموعه همه اعداد صحیح زوج را به صورت نشان میدهیم. (در این خصوص اصل موضوع تصریح را ببینید.)
- نماد به مجموعه همه عناصری اشاره دارد که از قرار دادن عناصر مجموعه A در فرمول F بدست میآیند. به عنوان مثال مجموعه مجموعه همه اعداد صحیح زوج است.(ر.ک اصل موضوع جایگزینی)
- نماد {F(x):P(x)} یکی از نمادهای مجموعه ساز مهم و پر کاربرد است. به عنوان مثال اگر (F(x خاصیت اول بودن x باشد و (P(x خاصیت متقارن بودن x باشد مجموعه {F(x):P(x)} به مجموعه همه اعداد اول متقارن دلالت داد.
[ویرایش] زیرمجموعه ها
اگر A و B دو مجموعه باشند، میگوییم A زیرمجموعه یا جز B است هرگاه هر عضو A در B نیز موجود باشد. در این صورت میگوییم مجموعه A زیرمجموعه یا جز B است یا B یک ابر مجموعه یا حاوی مجموعه A است. همچنین اگر A زیرمجموعه B باشد و در عین حال B دارای عضوی غیرمتعلق به A باشد میگوییم A یک زیرمجموعه حقیقی یا محض(سره) B است یا B یک ابر مجموعه حقیقی A است. به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعهای از اعداد صحیح میباشد.
نماد علامت زیرمجموعه بودن است. به عنوان مثال می نویسیم .
گزاره «A زیرمجموعه B است » را به صورت نمایش میدهند، همچنین گزاره « B یک ابرمجموعه A است » را به صورت مینویسیم و اگر A یک زیرمجموعه محض B باشد مینویسیم و یا .
از تعریف زیرمجموعه نتیجه میشود گزاره « A زیرمجموعه B است » معادل با گزاره زیر است.
نقیض گزاره را با نشان می دهیم و معادل با این مطلب است که عضوی در A هست که متعلق به B نمیباشد یا به زبان منطق ریاضی
- .
با استفاده از مفهوم زیر مجموعه میتوان تساوی دو مجموعه را به این صورت A=B است اگر و فقط اگر و میتوان بیان کرد.
همچنین اگر X یک مجموعه باشد مجموعه همه زیرمجموعه های X را مجموعه توانی X می گوییم و آنرا با(P(X نشان می دهیم. به عبارت دیگر . اگر X مجموعه ای n عضوی باشد، آنگاه X دارای 2n عضو است.
[ویرایش] مجموعه مرجع و متمم ها
در هر بحث خاص مجموعه همه عناصر مورد بحث را عضو یک مجموعه کلی می گیریم و به آن مجموعه جهانی(Universal set) یا مرجع(عام) می گوییم. توجه به این نکته لازم است که مجموعه جهانی را نباید به عنوان مجموعهای از همه مجموعهها در نظر گرفت چرا که در ادامه متوجه می شویم که چنین مجموعه ای وجود ندارد و فرض وجود آن ما را به تناقضاتی چون پارادکس راسل سوق میدهد. مجموعه جهانی را با U ,V و یا M نشان میدهیم.
اگر U مجموعه جهانی باشد و A یک زیرمجموعه U در این صورت مجموعه همه عناصری از U را که متعلق به A نباشند متمم یا مکمل مجموعه A می گوییم و آن را با نمادهای AC یا یا نشان میدهیم. پس و
[ویرایش] اجتماع، اشتراک و تفاضل
اگر A و B دو مجموعه باشند میتوانیم اعضای A و B را به طور توام در یک مجموعه جدید به نام اجتماع دو مجموعه A و B قرار دهیم. اجتماع دو مجموعه A و B عبارت است از مجموعه همه عناصری که به حداقل یکی از دو مجموعه A یا B متعلق باشند(ر.ک اصل موضوع اجتماع).
اجتماع دو مجموعه A و B را با نماد نشان می دهیم و مطابق تعریف داریم
پس:
به همین صورت اشتراک دو مجموعه A و B عبارت است از مجموعه همه عناصری که به هر یک از دو مجموعه A و B متعلق باشند. اشتراک دو مجموعه A و B را به صورت نشان می دهیم و مطابق تعریف داریم
- .
حال می توانیم مفهوم متمم یک مجموعه را تعمیم دهیم و متمم یک مجموعه مفروض را نسبت به یک مجموعه دیگر را بررسی کنیم. اگر A و B دو مجموعه باشند، مجموعه همه عناصری از A را که در مجموعه B وجود ندارند را متمم A نسبت به B یا تفاضل B از A می گوییم و به صورت A-B نشان میدهیم.
به این ترتیب و لذا
نکته جالب توجه این است که برای هر مجموعه X مجموعه توانی X یک جبر بول تحت اعمال اجتماع و اشتراک است. برای مشاهده خواص و قضایای مربوط به اجتماع و اشتراک به جبر مجموعهها رجوع کنید.
[ویرایش] زوج های مرتب و ضرب دکارتی
در مورد زوج مرتب می توان بسیار بحث کرد اما در نظریه طبیعی مجموعهها برای هر دو شی a و b زوج (a,b) را که در آن ترتیب قرار گرفتن مولفه های اول و دوم مهم است یک زوج مرتب میگوییم این تعریف نیاز ما را برای ادامه مطلب بر طرف میکند.(برای بررسی اینکه واقعاً یک زوج مرتب چیست می توانید به مقاله زوج مرتب یا نظریه اصل موضوعی مجموعهها مراجعه کنید.)
از تعریف یک زوج مرتب متوجه میشویم که اگر (a,b) و (c,d) دو زوج مرتب باشند و (c,d)=(a,b) باید داشته باشیم a=c و b=d. حال به بررسی یک عمل مهم بر روی مجموعهها میپردازیم.
اگر A و B دو مجموعه باشند آنگاه حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه A و B را با نماد نشان می دهیم و به صورت مجموعه همه زوج مرتب هایی که مولفه اول آنها عضو A و مولفه دوم آنها عضو B می باشند تعریف می کنیم. به عبارت دیگر .
مفهوم ضرب دکارتی را می توان توسعه داد و به تعداد نامتناهی از مجموعهها هم نسبت داد. ضرب دکارتی اولین بار توسط ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی رنه دکارت(René Descartes)معرفی شده است.
[ویرایش] معرفی چند مجموعه مهم
برای برخی از مجموعههای خاص اسامی خاضی بکار میبریم که باید آنها را به خاطر سپرد:
- مجموعه اعداد طبیعی را با نشان میدهیم و داریم .
- مجموعه اعداد طبیعی نابیشتر از عدد طبیعی k را قطعهای از اعداد طبیعی میگوییم و به صورت نشان میدهیم و داریم .
- مجموعه همه اعداد اول را با نشان میدهیم.
- مجموعه اعداد حسابی را با نشان میدهیم و داریم .
- مجموعه اعداد صحیح را با نشان میدهیم.
- مجموعه اعداد گویا (منطق) را با نشان میدهیم. طبق تعریف داریم :.
- مجموعه اعداد گنگ یا اصم را با نمایش می دهیم.
- مجموعه اعداد حقیقی را با نشان میدهیم.
- مجموعه همه اعداد حقیقی بین دو عدد a و b را که شامل خود a و b نیز میباشد را بازه بسته a و b می گوییم و آنرا به صورت نمایش می دهیم.
- مجموعه همه اعداد حقیقی بین دو عدد حقیقی a و b را بازه باز a و b میگوییم و آنرا به صورت نشان میدهیم.
- مجموعه اعداد حقیقی بین دو عدد حقیقی a و b را که شامل a میباشد را به صورت نشان میدهیم.
- مجموعه اعداد حقیقی بین دو عدد a و b را که شامل b میباشد را به صورت نشان میدهیم.
- مجموعه اعداد مختلط را به صورت نشان میدهیم.
[ویرایش] پارادکسها
در مقدمه و ادامه بحث بیان کردیم که در ادامه بسط نظریه مجموعه ها و بعد از ارائه نظریه طبیعی مجموعهها ریاضیدانان به یک سری تناقضات و پارادکسها برخورد کردند که این باعث شد در نظریه مجموعهها تجدید نظر کنند و نیاز به یک دستگاه اصل موضوعی برای بیان نظریه مجموعهها احساس شد. دستگاه اصل موضوعی که نظریه مجموعهها را بتوان بر پایه اصول آن بنا کرد و دیگر برداشتهای شهودی و طبیعی در آن تاثیر نداشته باشد.
اما به راستی چه مشکلی در نظریهای که تا به حال ارائه دادیم وجود دارد؟ مشکل در ساختار مجموعه است و اینکه واقعا مجموعه چیست؟ در نظریهای که ارائه شد، برداشتی که از یک مجموعه میشود مانند کیسهای است که تعدادی(متناهی یا نامتناهی) عضو را در آن قرار میدهیم. آیا به راستی هرچه که در بین دو { } قرار دهیم یک مجموعه نام دارد، یا به طور دقیقتر آیا میتوانیم هر مجموعهای را به دلخواه خودمان تشکیل بدهیم؟ آیا مجموعه مانند یک کیسه است که هر چه در آن قرار دهیم و اسم آن را یک مجموعه بگذاریم؟
خوب ریاضیدانان در آغاز پیدایش نظریه مجموعهها که بر پایه شهود بنیان گذاشته شده بود، یعنی در زمان ریاضیدانانی چون جرج کانتور و فرگه چنین تصور میکردند. مثلاً در آن زمان وجود مجموعه همه مجموعهها مسلم شمرده میشود. یعنی آنها یک مجموعه بزرگ را در نظر میگرفتند که همه مجموعهها در آن قرار داشت. اما آیا ما میتوانیم چنین مجموعهای را تشکیل دهیم؟ ممکن است در نگاه اول برداشت شهودی ما از مجموعه به این سوال پاسخ مثبت بدهد ولی در ادامه متوجه میشوید که فرض وجود چنین مجموعه بزرگی ما را به تناقض سوق میدهد که این تناقض را نخستین بار برتراند راسل، تحت عنوان پارادکس راسل مطرح کرد.
خوب بیاید فرض کنیم هر مجموعهای را میتوان تشکیل داد. برای هر مجموعه ما میتوانیم این سوال عجیب را مطرح کنیم که آیا این مجموعه عضو خودش است یا نه؟
طبیعی است که در هر مورد جواب بلی یا خیر است. حال بر اساس فرضی که کردیم بیاید همه مجموعه هایی که شامل خود نمیباشند را در یک مجموعه قرار دهیم یعنی مجموعه همه مجموعههایی که شامل خود نمیباشند را تشکیل دهیم. این مجموعه را A نامگذاریم میکنیم پس {Xمجموعهای باشد که عضو خودش نیست :A={X
A نیز یک مجموعه قابل قبول است و حق داریم سوال را در مورد A نیز مطرح کنیم؛ آیا A عضو خودش است یا نه؟ بدیهی است که باید داشته باشیم یا .
- اگر در این صورت چون A عضو خودش است بنابر تعریف مجموعه A باید داشته باشیم که این تناقض است.
- اگر در این صورت A عضوی از خودش است و لذا مطابق تعریف مجموعه A باید داشته باشیم که این نیز تناقض است.
بنابراین با سوالی رو برو میشویم که نمیتوانیم به آن پاسخ بدهیم و هر پاسخ به آن ما را به تناقض سوق می دهد و نتیجه میگیریم که اساسا چنین مجموعهای را نمی توان تعریف کرد و چنین مجموعهای خوش تعریف نیست زیرا در مورد اعضای آن ابهام وجود دارد.
حال در نگاهی دیگر با همان فرض قبلی که میتوان هر مجموعهای را تشکیل داد بیاید فرض کنیم مجموعه همه مجموعهها وجود دارد. چنین مجموعه بزرگی را Ω مینامیم. در مورد اعضای مجموعه Ω نیز می توان این سوال را مطرح کرد که اگر A عضوی از Ω باشد آیا A عضو خودش است یا نه؟
به عبارت دیگر گزاره نمای یا خاصیت «عضو خود نبودن» را اختیار میکنیم و با اعمال آن روی اعضای Ω زیرمجموعهای از عضای Ω مشخص میشود. یعنی زیرمجموعهای از Ω که دقیقاً شامل عناصری از Ω است که عضو خود نمیباشند. این زیرمجموعه را B مینامیم. در این صورت . حال چون Ω مجموعه همه مجموعهها است این سوال پیش میآید که آیا ؟
اگر آنگاه یا و یا . حال:
- اگر در این صورت B عضو خودش است و لذا باید داشته باشیم که تناقض است.
- اگر در این صورت B عضو خودش نمیباشد و لذا که تناقض است.
ما را به تناقض سوق میدهد و لذا که این با توجه به اینکه Ω مجموعه همه مجموعهها است، یک تناقض آشکار است چرا که مجموعهای چون B یافت شد که عضو Ω نمیباشد. پس اساسا فرض وجود مجموعههمه مجموعهها نیز ما را به تناقض میکشاند و چنین مجموعهای خوش تعریف نمیباشد.
برای اطلاعات بیشتر در مورد این پارادکس ها به پارادکس راسل یا پارادکس های نظریه مجموعه ها رجوع کنید.
[ویرایش] همچنین ببینید
- مجموعه
- جبر مجموعه ها
- نظریه مجموعه ها
- نظریه اصل موضوعی مجموعهها
- پارادکس راسل
- پارادکس های نظریه مجموعه ها
[ویرایش] منابع
- مشارکتکنندگان ویکیپدیا، «Naive set theory»، ویکیپدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد. (بازیابی در 24 آگوست 2007).
- پل ریچارد هالموس. نظریه طبیعی مجموعه ها. ترجمهٔ عبدالحمید دادالله. چاپ نوبت چاپ، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1373، ISBN 964-01-0052-8.
- شووینگ تی.لین و یو-فینگ.لین. نظریه مجموعه ها و کاربرد آن. ترجمهٔ عمید رسولیان. چاپ نوبت چاپ، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1384، ISBN 964-01-0462-0.
- ایان استیوارت،دیوید تال. مبانی ریاضیات. ترجمهٔ محمد مهدی ابراهیمی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1376، ISBN 964-01-0253-9.