Teoría de campos

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En física, la teoría de campos es el conjunto de principios y técnicas matemáticas que estudia la dinámica y distribución espacial de un campo físico. Así por ejemplo la teoría de campos permite describir específicamente como cambia un campo con el tiempo o respecto a otros campos presentes.

La teoría de campos asigna a cada tipo de campo una densidad lagrangiana, a veces por abuso de lenguaje llamada también simplemente "lagrangiano". Equivalentemente se puede substituir este "lagrangiano" por un "hamiltoniano".

El tratamiento clásico de involucra encontrar unas ecuaciones diferenciales obtenidas a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por su lado, el tratamiento cuántico involucra construir un hamiltoniano cuántico y un espacio de Hilbert adecuado, sobre el que se suele tratar el problema infundadamente diagramas de Feynman. Los resultados de ambas teorías resultan comparables si se examinan las secciones eficaces del scattering de partículas.

En Física Moderna, los campos más estudiados son los que nos dan las cuatro fuerzas fundamentales, para los cuales se han establecido la forma razonablemente exacta de sus respectivos "lagrangianos".

[editar] Campos Clásicos

Los dos principales ejemplos de campos clásicos son la electrodinámica clásica y el campo gravitatorio. En la teoría clásica de campos, la variación dinámica de los mismos se determina mediante la especificación de una densidad lagrangiana que es una función de las componentes del campo y sus derivadas primeras. La integral de esta densidad lagrangiana sobre un dominio del espacio-tiempo permite construir el funcional de acción y mediante el uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtienen las ecuaciones en derivadas parciales que satisface el campo tanto en su variación en el espacio como en su evolución con el tiempo.

[editar] Historia

Michael Faraday fue el primero en introducir el concepto de campo, durante sus investigaciones de magnetismo. Varios trabajos posteriores formalizaron matemáticamente la idea de campo, como una magnitud que varía continuamente a lo largo del espacio y con el tiempo. Aunque inicialmente el concepto de campo se consideró un artificio matemático conveniente, varias evidencias llevaron a considerar el campo electromagnético y el campo gravitatorio no sólo como campos de fuerzas definidos matemáticamente, sino como entidades físicas reales detectables y medibles y a las que era posible asociarles energía. De hecho en la moderna física cuántica se considera que no existen partículas materiales sino simplemente campos materiales. Cuando un campo está muy concentrado en una región del espacio razonablemente bien definida aparece a escala macroscópica como una partícula.

La idea de los campos como entidades físicas reales y autónomas se hizo realmente notoria a partir de la formulación, por parte de James Clerk Maxwell, de la primera teoría unificada de campos en física. Maxwell reunió diversas leyes experimentales sobre los campos eléctricos y magnéticos, y las juntó en un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, añadiendo diversos términos por completitud teórica. Los nuevos términos postulados por Maxwell y la predicción de que los campos electromagnéticos en el vacío se propagan en formas de ondas electromagnéticas llevaron a la consideración del campo electromagnético como entidad física real, existente al margen de las cargas eléctricas que pueden estar asociadas a él. Las ecuaciones de la teoría de campo unificado formulada por Maxwell, se llaman ecuaciones de Maxwell. Al final del siglo XIX, el campo electromagnético fue comprendido como una colección de dos campos vectoriales en el espacio. Hoy en día, se lo puede reconocer como un solo campo tensorial antisimétrico de segundo orden en el espacio-tiempo.

La teoría de la gravitación de Einstein, llamada teoría general de la relatividad, es otro ejemplo de una teoría de campos. Aquí el principal campo es el tensor métrico, un campo tensorial simétrico de rango 2 en el espacio-tiempo.

[editar] Campos cuánticos

Se cree ahora que la mecánica cuántica debería sustentar todos los fenómenos físicos, como en la teoría clásica de campos, por lo menos en principio, permitir replantear en términos de mecánica cuántica; suscesos que corresponden a la teoría cuántica de campos. Por ejemplo, la cuantización de la electrodinámica clásica da electrodinámica cuántica. La electrodinámica cuántica es posiblemente la más completa teoría científica; los datos experimentales confirman sus predicciones con una altísima precisión (con más cifras significativas) que ninguna otra teoría. Las otras teorías fundamentales de campos cuánticos son cromodinámica cuántica y la teoría electrodébil. Estas tres teorías de campo pueden ser derivadas como casos especiales del llamado Modelo Estándar de la física de partículas. La Relatividad General, la teoría clásica de campos, está siendo actualmente cuantizada.

La teoría clásica de campos permanece útil donde las propiedades cuánticas no alcanzan, y puede ser útil en muchas áreas de investigación. La elasticidad de materiales, fluidos dinámicos y ecuaciones de Maxwell son esos casos.

[editar] Campos aleatorios continuos

Los campos clásicos sobre todo, tales como el campo electromagnético, son usualmente funciones infinitamente derivables, pero hay en algunos casos casi siempre el doble de diferenciales. En contraste, las funciones generalizadasno son siempre continuas. Si vamos con cuidado con los campos clásicos en temperatura finita, los métodos matemáticos de campos aleatorios continuos tienen que ser usados, porque la fluctuación térmica de los campos clásicos no son infinitamente diferenciables.Campos aleatorios son colecciones de variables aleatorias; un campo aleatorio continuo es un campo aleatorio que tiene una colección de funciones. En particular, es matemáticamente conveniente tomar campos aleatorios continuos como el espacio de Schwartz de funciones coleccionadas, en dicho caso los campos aleatorios continuos son una distribución.

Como una manera brusca de pensar en campos aleatorios, debemos pensar en una función ordinaria que tiende al $\pm\infty$ casi donde sea, pero donde nosotros tomamos un promedio brusco de todo el infinito sobre una región finita, podremos obtener un resultado finito. Los infinitos no son bien definidos, la ultima expresión no tiene sentido matemático, pero el valor finito puede ser asociado con las funciones que nosotros usemos como funciones bruscas para obtener valores finitos, y estos ya pueden ser definidos. Podemos definir campos aleatorios continuos muy bien como un mapeo lineal desde el espacio de funciones entre los números reales.