Símbolo de Levi-Civita

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En matemáticas, y en particular en cálculo tensorial, se define el símbolo de Levi-Civita, también llamado el símbolo de permutación, como sigue:

$\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ o } (3,1,2)\\ -1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ o } (2,1,3)\\ 0 & \mbox{de otro modo }i=j \mbox{ o } j=k \mbox{ o } k=i \end{matrix} \right.$

nombrado así por Tullio Levi-Civita. Se utiliza en muchas áreas de las matemáticas y en física. Por ejemplo, en álgebra lineal, el producto vectorial de dos vectores se puede escribir como:

$\mathbf{a \times b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \sum_{i=1}^3 \left( \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k \right) \mathbf{e}_i$

o más simplemente:

$\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k$

esta última expresión puede ser simplificada más usando la notación de Einstein, convención en la que se puede omitir el símbolo de sumatoria. El tensor cuyas componentes son dadas por el símbolo de Levi-Civita (un tensor covariante de rango 3) a veces se llama el tensor de permutación.

El símbolo de Levi-Civita se puede generalizar a dimensiones más altas:

$\epsilon_{ijkl\dots} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{si }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ es una permutación par de } (1,2,3,4,\dots) \\ -1 & \mbox{si }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ es una permutatión impar de } (1,2,3,4,\dots) \\ 0 & \mbox{si dos índices son los mismos} \end{matrix} \right.$

Ver permutación par o grupo simétrico para una definición de 'permutación par' y de 'permutación impar'.

[editar] Relación con la delta de Kronecker

El símbolo de Levi-Civita se relaciona con la delta de Kronecker. En tres dimensiones la relación viene dada por las siguientes ecuaciones:

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \det \begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\ \end{vmatrix}$

$= \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right) \,$

$\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$

(En notación de Einstein, la duplicación del índice i implica sumar sobre las i. La expresión anterior se escribe: $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$ )