Mecánica de sólidos deformables

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La mecánica de los sólidos deformables estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos deformables ante diferentes tipos de situaciones como la aplicación de cargas o efectos térmicos. Estos comportamientos, más complejos que el de los sólidos rígidos, se estudian en mecánica de sólidos deformables introduciendo los conceptos de deformación y de tensión.

Una aplicación típica de la mecánica de sólidos deformables es determinar a partir de una cierta geometría original de sólido y unas fuerzas aplicadas sobre el mismo, si el cuerpo cumple ciertos requisitos de resistencia y rigidez. Para resolver ese problema, en general es necesario determinar el campo de tensiones y el campo de deformaciones del sólido. Las ecuaciones necesarias para ello son:

ecuaciones de equilibrio, que relacionan tensiones internas del sólido con las cargas aplicadas. Las ecuaciones de la estática son deducibles de las ecuaciones de equilibrio.
ecuaciones constitutivas, que relacionan tensión y deformación, y en las que pueden intervenir también otras magnitudes como temperatura, velocidad de deformación, deformaciones plásticas acumuladas, variables de endurecimiento, etc.
ecuaciones de compatibilidad, a partir de la cual pueden calcularse los desplazamientos en función de las deformaciones y las condiciones de contorno o enlace con el exterior.

[editar] Tipos de sólidos deformables

Los sólidos deformables difieren unos de otros en su ecuación constitutiva. Según sea la ecuación constitutiva que relaciona las magnitudes mecánicas y termodinámicas relevantes del sólido, se tiene la siguiente clasificación para el comportamiento de sólidos deformables:

Comportamiento elástico, se da cuando un sólido se deforma adquiriendo mayor energía potencial elástica y, por tanto, aumentando su energía interna sin que se produzcan transformaciones termodinámicas irreversibles. La característica más importante del comportamiento elástico es que es reversible: si se suprimen la fuerzas que provocan la deformación el sólido vuelve al estado inicial de antes de aplicación de las cargas. Dentro del comportamiento elástico hay varios subtipos:
- Elástico lineal isótropo, como el de la mayoría de metales no deformados en frío bajo pequeñas deformaciones.
- Elástico lineal no-isótropo, la madera es material ortotrópico que es un caso particular de no-isotropía.
- Elástico no-lineal que, a su vez, tiene subtipos:
Comportamiento plástico: aquí existe irreversibilidad; aunque se retiren las fuerzas bajo las cuales se produjeron deformaciones elásticas, el sólido no vuelve exactamente al estado termodinámico y de deformación que tenía antes de la aplicación de las mismas. A su vez los subtipos son:
- Plástico puro, cuando el material "fluye" libremente a partir de un cierto valor de tensión.
- Plástico con endurecimiento, cuando para que el material acumule deformación plástica es necesario ir aumentando la tensión.
- Plástico con ablandamiento.
Comportamiento viscoso que se produce cuando la velocidad de deformación entra en la ecuación constitutiva, típicamente para deformar con mayor velocidad de deformación es necesario aplicar más tensión que para obtener la misma deformación con menor velocidad de deformación pero aplicada más tiempo. Aquí se pueden distinguir los siguientes modelos:
- Visco-elástico
- Visco-plástico

En principio, un sólido de un material dado es susceptible de presentar varios de estos comportamientos según sea el rango de tensión y deformación que predomine. Uno u otro comportamiento dependerá de la forma concreta de la ecuación constitutiva que relaciona parámetros mecánicos importantes como la tensión, la deformación, la velocidad de deformación y la deformación plástica, junto con parámetros como las constantes elásticas, la viscosidad y parámetros termodinámicos como la temperatura o la entropía.

[editar] Teoría de la elasticidad lineal

Artículo principal: Elasticidad (mecánica de sólidos)

Para materiales que tienen un comportamiento elástico lineal, o aproximadamente lineal, para pequeñas o moderadas deformaciones. El cálculo de tensiones y deformaciones puede hacerse usando la teoría lineal de la elasticidad. Esta teoría resuelve los problemas de mecánica de sólidos planteando un [[sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Desde el punto de vista físico los diversos subsistemas de ecuaciones que incluye esta teoría son:

Ecuaciones de equilibrio interno. Que relacionan las fuerzas volumétricas (b_i) con las derivadas de las tensiones (σ_ij) en el interior del sólido:

$\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} + b_x = 0 \qquad \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} + b_y = 0 \qquad \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + b_z = 0$

Ecuaciones de equilibrio externo. Que relacionan las fuerzas superficiales o fuerzas de contacto (f_i) aplicadas en la superficie del sólido con el valor de las tensiones en el controno del sólido:

$\sigma_{xx}\ n_x+ \sigma_{xy}\ n_y+ \sigma_{xz}\ n_z = f_x \qquad \sigma_{yx}\ n_x+ \sigma_{yy}\ n_y+ \sigma_{yz}\ n_z = f_y \qquad \sigma_{zx}\ n_x+ \sigma_{zy}\ n_y+ \sigma_{zz}\ n_z = f_z$

Ecuaciones constitutivas o ecuaciones de Lamé-Hooke. Son ecuaciones algebraicas y lineales que relacionan el valor de las componentes del tensor tensión con el valor del tensor deformación:

$\varepsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}$

$\varepsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \varepsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz}$

$\varepsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}) \right) \qquad \varepsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz}$

Relación entre desplazamientos y deformaciones. Que relacionan las componentes del tensor de deformaciones (ε_ij) con las componentes del vector de desplazamiento u = (u_x, u_y, u_z):

$\varepsilon_{ij}={1\over2}\left({\part u_i \over\part x_j}+{\part u_j \over\part x_i}\right)$

Condiciones de contorno, que fijan el valor del desplazamiento para algunos puntos del contorno exterior, normalmente los puntos que sean puntos de unión del sólido deformable a alguna otra estructura o elemento resistente sobre el que se apoye o ancle.

[editar] Resistencia de materiales

Artículo principal: Resistencia de materiales

Ciertos problemas sencillos de la mecánica de sólidos deformables con geometrías simples pueden tratarse mediante la resistencia de materiales clásica. En especial para el cálculo de vigas y cuando la concentración de tensiones no es particularmente pueden plantearse ecuaciones diferenciales ordinarias en una variable para el cálculo de tensiones y deformaciones, lo cual hace muy fácil el encontrar soluciones analíticas que aproximen las tensiones del problema real tridimensional.

Además, muchos problemas que son indeterminados según el modelo de la mecánica del sólido rígido (problemas hiperestáticos), son resolubles en el modelo de sólidos deformables gracias a que se usan ecuaciones adicionales (ecuación constitutiva y ecuaciones de compatibilidad). Normalmente estas ecuaciones adicionales se escriben en términos de esfuerzos, deformaciones o desplazamientos (Véase también: teoremas de Castigliano, Ecuaciones de Navier-Bresse, Teoremas de Mohr).

Una de las principales aplicaciones de la mecánica de sólidos deformables es el cálculo de estructuras en ingeniería y arquitectura. Como campo de estudio, la mecánica de sólidos deformables forma parte de la mecánica de medios continuos.

[editar] Véase también

Categorías: Mecánica de medios continuos | Mecánica de sólidos | Ingeniería estructural

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Tabla de contenidos

[editar] Tipos de sólidos deformables

[editar] Teoría de la elasticidad lineal

[editar] Resistencia de materiales

[editar] Véase también

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