Ley de los grandes números

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Se dice que una sucesión de variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad común obedece la ley de los grandes números cuando la media de las muestras de variables tiende a la media de las esperanzas de las variables aleatorias de la sucesión, según el número total de variables aumenta.

En un contexto estadístico, las leyes de los grandes números implican que el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.

En el contexto de teoría de probabilidad, varias leyes de grandes números dicen que el promedio de una secuencia de variables elegidas al azar con una distribución de probabilidad común, converge (en los sentidos explicados abajo) a su valor esperado común, en el límite mientras el tamaño de la secuencia se aproxima al infinito. Varias formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.

Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma. Sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.

[editar] Ley débil

La ley débil de los grandes números establece si X₁, X₂, X₃, ... es una secuencia infinita de variables aleatorias, donde todas las variables aleatorias tiene el mismo valor esperado μ y varianza σ²; y son no correlacionadas (es decir, la correlación entre cualesquiera dos es cero), entonces el promedio de una muestra

$\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$

converge en probabilidad a μ. En otras palabras: para cualquier número positivo ε, sin importar cuan pequeño, se tiene

$\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\varepsilon\right)=1.$

[editar] Ley fuerte

La ley fuerte de los grandes números establece que si X₁, X₂, X₃, ... es una secuencia infinita de variables aleatorias que son independientes e idénticamente distribuidas con E(|X_i|) < ∞ (y donde el valor esperado es μ), entonces

$\operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1,$

es decir, el promedio de una muestra converge casi seguramente a μ.

Esta ley justifica la interpretación intuitiva de que el valor esperado de una variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo repetitivo".