Grupo de Lorentz

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En física, el grupo de Lorentz es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio de Minkowski, la composición clásica de todas los fenómenos físicos no gravitacionales. Matemáticamente es un subgrupo del grupo lineal $GL(\R^4)$ y también puede ser dotado de la estructura de grupo topológico.

[editar] Definición

El grupo de Lorentz es isomorfo a al grupo ortonormal generalizado $O(3,1)\,$ , es decir, el grupo de transformaciones lineales que deja invariante la métrica del espacio de Minkowski o grupo de isometría del espacio de Minkowski. Matemáticamente está formado por cualquier matriz que satisfaga la relación:

$\begin{pmatrix} \Lambda_{00} & \Lambda_{10} & \Lambda_{20} & \Lambda_{30} \\ \Lambda_{01} & \Lambda_{11} & \Lambda_{21} & \Lambda_{31} \\ \Lambda_{02} & \Lambda_{12} & \Lambda_{22} & \Lambda_{32} \\ \Lambda_{03} & \Lambda_{13} & \Lambda_{23} & \Lambda_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Lambda_{00} & \Lambda_{01} & \Lambda_{02} & \Lambda_{03} \\ \Lambda_{10} & \Lambda_{11} & \Lambda_{12} & \Lambda_{13} \\ \Lambda_{20} & \Lambda_{21} & \Lambda_{22} & \Lambda_{23} \\ \Lambda_{30} & \Lambda_{31} & \Lambda_{32} & \Lambda_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

O en forma matricial más compacta:

$\boldsymbol\Lambda^T \boldsymbol\eta \boldsymbol\Lambda = \boldsymbol\eta \qquad \boldsymbol\eta \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

El grupo de Lorentz no es el conjunto más general de transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones de la teoría general de la relatividad, ya que no incluye las traslaciones espacio temporales. De hecho, el grupo de Lorentz es el subgrupo maximal del grupo de Poincaré tal que no incluye las traslaciones.

[editar] Subgrupos

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El grupo de Lorentz está formado por cuatro componentes conexas, algunos de los subgrupos más importantes que dicho grupo son:

El subgrupo con transformaciones de Lorentz cuyo determinante es igual a 1.
El subgrupo de Lorentz de trasformaciones propias, que es es un subgrupo del anterior tal que todas las transformaciones dentro de él cumlen que $Λ 00 > 0$ .
El subgrupo de rotaciones en $\R^3$ isomorfo a $SO(\R^3)$ , que es un subgrupo del anterior.
El subgrupo de transformaciones ortocrono formado por todas aquellas transformaciones tales que $Λ 00 > 0$ .

[editar] Grupo de Lorentz propio

[editar] Inversión espacial

[editar] Inversión temporal

[editar] Espacio recubridor

El grupo de Lorentz no es un grupo conexo, aunque sí lo es el grupo formado por las transformaciones de Lorentz propias. Aunque este subgrupo es conexo no es simplemente conexo. Su espacio recubridor es precisamente el grupo especial lineal complejo de dos dimensiones $SL(2,\mathbb{C})$ , que puede identificarse con el grupo de las matrices de componentes complejas de 2x2 y determinante igual a la unidad:

$P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right], \; ad - bc = 1$

Para ver la relación entre el grupo de Lorentz y su grupo recubridor, consideremos un punto del espacio de Minkowski en forma de matriz hermítica:

$X = \left[ \begin{matrix} ct+z & x-iy \\ x+iy & ct-z \end{matrix} \right]$

Cuyo determinante es precisamente $\det \, X = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ Y entonces la acción del grupo $SL(2,\mathbb{C})$ sobre el espacio de Minkowski puede escribirse como:

$X \rightarrow \bar{X} = P X P^*$

Y esa acción sobre matrices hermíticas es equivalente a la acción del grupo de Lorentz sobre el espacio-tiempo de Minkowski. Un detalle importante es que tanto la matriz P como su negativa -P inducen la misma transformación de Lorentz. De hecho, la aplicación inducida de $SL(2,\mathbb{C})$ en el grupo de Lorentz es dos a uno.

Una propiedad interesante del grupo $SL(2,\mathbb{C})$ es que es semisimple lo cual permite construir sus representaciones de una manera peculiar simple, como suma directa de representaciones irreducibles. Este hecho es muy importante en las aplicaciones físicas. Esta propiedad hace que en realidad el grupo de Lorentz de la relatividad especial más sencillo de manejar matemáticamente que el grupo de Galileo de la mecánica newtoniana.

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