Figura de vértice

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En geometría, una figura de vértice puede pensarse como la superficie cortada expuesta cuando se corta una esquina de un politopo de alguna forma dada.

Un tipo de figura de vértice es el polígono resultante cuando, tomando un único vértice de un poliedro, se dibujan líneas a través de los puntos medios de todas las aristas a través del vértice. Estarán en un plano, si en el vértice se encuentran no más de tres aristas, y también en el caso de un sólido platónico. Si cortamos a travpes de la esquina siguiendo esas líneas, se expondrá la figura de vértice.

Por ejemplo, tomando el cubo, hay tres aristas que definen cualquier vértice. Pueden dibujarse tres líneas entre sus puntos medios, y la figura de vértice será entonces un triángulo. Como los ángulos de las tres caras que se encuentran en el vértice son iguales, el triángulo es equilátero.

Las figuras de vértice pueden generalizarse a politopos con un número de dimensiones mayor, notando simplemente que la figura de vértice de un politopo n-dimensional es de dimensión n-1. Por lo tanto, las figuras de vértice del hipercubo y del 4-simplex son tetraedros.

La figura de vértice de un politopo regular es ella misma regular, y esta es una de las dos reglas necesarias para caracterizar un politopo regular (la otra es que tenga celdas regulares). Esto se ve fácilmente cunado se escriben los símbolos de Schläfli que describen el politopo, pues para el politopo descripto por

{j,k,...,x,y},

ambos

{j,k,...,x}

y

{k,...,x,y}

deben ser politopos regulares.

Se han descripto diversos tipos de figuras de vértice, para distintos propósitos. En lugar de tomar el punto medio de cada arista, podría desearse tomar puntos a distancia unitaria a lo largo de cada arista, o aún puntos en el extremo de cada arista (es decir, los vértices adyancentes) y trazar líneas entre estos.

Para los politopos regulares y uniformes (semiregulares), estos tipos de vértice son siempre planos, pero para los politopos irregulares (como los toroides) son habitualmente inclinados.

La versión original de este artículo es una adaptación de en:Vertex figure en la Wikipedia en inglés