Eficiencia de Pareto
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Enunciado por Vilfredo Pareto, el concepto de eficiencia de Pareto (también llamado óptimo de Pareto, Pareto-optimalidad u óptimo paretiano) es aquella situación en la cual se cumple que no es posible beneficiar a más elementos de un sistema sin perjudicar a otros. Se basa en criterios de utilidad: si algo genera o produce provecho, comodidad, fruto o interés sin perjudicar a otro, provocará un proceso natural de optimización hasta alcanzar el punto óptimo.
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[editar] Uso y definiciones técnicas
Las sucesivas mejoras llevan a una mejor asignación donde ya no es posible ninguna mejora paretiana.
Su uso está muy extendido en áreas matemáticas, principalmente en investigación operativa y teoría de juegos. Sus aplicaciones son múltiples en toma de decisiones y en entornos de optimización con objetivos múltiples.
La definición técnica podría ser la siguiente: sea P un problema de optimización múlti-objetivo. Se dice entonces que una solución S1 es pareto-óptima cuando no existe otra solución S2 tal que mejore en un objetivo sin empeorar en otro.
[editar] Ejemplos
Para ilustrar claramente su fundamento, proponemos el siguiente ejemplo:
En el mercado automovilístico disponemos de múltiples vehículos para adquirir. Cada vehículo dispone de ciertas características técnicas y de un precio, este último normalmente relacionado con su calidad, aunque no siempre es así. Ante una persona que va a comprar un coche, caben en principio dos posibilidades:
1) Que la persona tenga dinero de sobra, es decir, que desee adquirir el vehículo de mayor calidad sin tener en cuenta el precio. En este caso estaríamos ante un problema mono-objetivo, es decir, el objetivo único es encontrar el vehículo de más prestaciones, por ejemplo un Ferrari.
2) Que la persona tenga un presupuesto ajustado. En este caso, aparte de las prestaciones también considerará el precio. Estamos ante un problema multi-objetivo (en este caso con 2 objetivos). Ante esta situación cabe una pregunta. ¿Cuál es el mejor vehículo para comprar?. La respuesta es que no hay un solo vehículo que se considere el mejor. Un Ferrari será el que dará mejores prestaciones, pero será también el más caro (el mejor en el objetivo prestaciones y el peor en el objetivo precio). Un Seat puede ser el que menos prestaciones ofrezca, pero el que mejor precio tenga (el peor en el objetivo prestaciones y el mejor en el objetivo precio). Así pues no podemos decir que uno sea mejor que el otro. Los coches intermedios, como un Mercedes, BMW tendrán valores intermedios.
Así pues un coche, Coche1, se dice que es una solución pareto-óptima cuando no existe otro coche, Coche2, tal que tenga un mejor precio que Coche1 y además ofrezca mayores prestaciones.
Es por eso por lo que interesa disponer, no de una solución, sino de varias, para que a la hora de tomar decisiones éstas contemplen todas las soluciones pareto-óptimas posibles.
[editar] Aspectos formales
A continuación se definen los conceptos de dominio y optimización de Pareto, aplicados a un problema de minimización; la extensión al caso de un problema de maximización es trivial.
- Dominancia de Pareto: Dado un vector
, se dice que domina a otro vector 
si y sólo si:
- Optimalidad de Pareto: Una solución
se dice que es Pareto-óptima si y sólo si no existe otro vector 
tal que 
domine a 
.
- En otras palabras, la definición anterior dice que el punto es un óptimo de Pareto si no existe un vector que haga mejorar alguno de los objetivos —respecto a los valores obtenidos para — sin que empeore de forma simultánea alguno de los otros. En general, la solución en el sentido de Pareto al problema de optimización multiobjetivo no será única: la solución estará formada por el conjunto de todos los vectores no dominados, a los que se conoce con el nombre de conjunto de no dominados o frente de Pareto.
En la figura 1 se representa, con trazo grueso, el frente de Pareto de una función con 2 objetivos. El área coloreada T representa la imagen de dicha función objetivo. Se puede observar que no existe ningún punto perteneciente a T que mejore en el sentido de Pareto, a algún punto del Frente: eligiendo un punto de T de forma arbitraria, por ejemplo p3, se puede trazar la vertical hasta obtener el punto de corte con el Frente de Pareto, en este caso p1; dicho punto de corte siempre tendrá el mismo valor de f1 y un valor mejor de f2 . También se puede observar que para 2 puntos cualesquiera del Frente de Pareto, nunca habrá uno que mejore de forma simultánea los dos objetivos respecto al otro punto. Cogiendo por ejemplo los puntos p1 y p2, se observa que para p1 mejora f2, pero a costa de empeorar f1 (se está considerando un caso de minimización).
En análisis económico se denomina óptimo de Pareto a aquel punto de equilibrio en el que ninguno de los agentes afectados podrá mejorar su situación sin reducir el bienestar de cualquiera de los otros agentes. Por tanto, mientras que uno de los individuos incluidos en el sistema de distribución, producción o consumo pueda mejorar su situación sin perjudicar a otro nos encontraremos en situaciones no óptimas en el sentido paretiano. El óptimo paretiano no es sensible a los desequilibrios e injusticias en la asignación de recursos, factores, bienes y servicios, o en la propiedad de éstos, ya que una situación en la que se distribuyan 10 unidades de un bien para su consumo entre dos individuos permite obtener 10 óptimos distintos de Pareto con independencia de la justicia de tal asignación. Serían óptimos de Pareto tanto una distribución del tipo 10 a 0, como otra del tipo 5 a 5, ya que una vez asigandos en ambos casos, para mejorar la situación de un individuo irremediablemente se empeoraría la situación del otro al tener que ceder una de las unidades del bien o servicio (aunque el primero parta de 0 y el último de 10).
