Coseno

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En trigonometría el coseno (abreviado cos) se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$

O también como la abscisa correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c = 1).

$\cos(\alpha) = b \,$

En matemáticas el coseno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.

También se puede definir mediante exponenciales de la forma:

${\rm cos}(x)=\frac{e^{ix} + e^{-ix} }{2}$

Donde i es la unidad imaginaria.

Tabla de contenidos

1 Representación gráfica
2 Coseno de una suma o resta
3 Coseno de un angulo doble
4 Coseno del angulo medio
5 Transformación de una suma de cosenos en producto
6 Derivada del Coseno
7 Generalizaciones del coseno
8 Véase también

[editar] Representación gráfica

Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por

π

Radián. La función coseno, denominada cosinusoide.

Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x en grados sesagesimales.

[editar] Coseno de una suma o resta

$\theta,\phi \in\ \mathbb{R}$ Entonces:

$\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)$

Si hacemos

$\cos \left(\phi +(- \theta \right))=cos (\phi)cos(-\theta)-sin(\phi)sin(-\theta)$

obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.

$\cos \left(\phi -\theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)+sin(\phi)sin(\theta)$

[editar] Coseno de un angulo doble

Tenemos que

$\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)$

Hagamos $θ = φ$ Entonces

$cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)$

[editar] Coseno del angulo medio

Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno del ángulo medio. Sea $\alpha, \phi \in \mathbb{R}$

Como $cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)$

la podemos escribir como

$cos \left(2\phi \right) =1-2sin^2(\phi)$

Sea $\phi=\frac{\alpha}{2}$

Entonces obtenemos

$\Bigg|cos\Bigg(\frac{\alpha}{2}\Bigg)\Bigg|=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}$

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

$cos\Bigg(\frac{\alpha}{2}\Bigg)=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}$

[editar] Transformación de una suma de cosenos en producto

$cos(\phi)+cos(\theta)=2cos\Bigg(\frac{\phi + \theta}{2}\Bigg)cos\Bigg(\frac{\phi - \theta}{2}\Bigg)$

Demostración

Tomemos $\alpha\,\beta\,\theta,\phi \in\ \mathbb{R}$

Entonces

$cos \left(\alpha +\beta \right)+cos(\alpha -\beta)=cos (\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)+cos (\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$

$cos \left(\alpha +\beta \right)+cos(\alpha -\beta)=2cos (\alpha)cos(\beta)$

Hagamos $θ = α + β$ y $φ = α - β$

Entonces, resolviendo el sistema se tiene que

$\alpha\ =\frac{\theta + \phi}{2}$

$\beta\ =\frac{\theta - \phi}{2}$

Reemplazando se obtiene

$cos \left(\phi \right)+cos(\theta)=2cos\Bigg(\frac{\theta + \phi}{2}\Bigg)cos\Bigg(\frac{\theta - \phi}{2}\Bigg)$

Análogamente se demuestra para

$cos(\phi)-cos(\theta)=-2sin\Bigg(\frac{\phi + \theta}{2}\Bigg)sin\Bigg(\frac{\theta - \phi}{2}\Bigg)$

[editar] Derivada del Coseno

Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

lo que es

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x + h) - \cos(x)}{h}$

Entonces, usando las fórmulas anteriormente señaladas, se tiene que

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot \cos(h)-\sin(x)\cdot \sin(h)- \cos(x)}{h}$

Factorizando

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot\Big(\cos(h)-1\Big)-\sin(x)\cdot\sin(h)}{h}$

Separando tenemos

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot\Big(\cos(h)-1\Big)}{h}- \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin(x)\cdot\sin(h)}{h}$

Sabiendo que $\lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin(h)}{h}=1$ y que el primer limite queda determinado por la regla de L'Hopital, entonces tenemos que

$\cos' \left(x \right)= -\sin(x)$

[editar] Generalizaciones del coseno

[editar] Véase también

Categoría: Funciones trigonométricas

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