Διπλασιασμός του κύβου

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Ο Διπλασιασμός του κύβου (επίσης γνωστός ως πρόβλημα της Δήλου) είναι μία από τις τρείς γνωστές γεωμετρικές ασκήσεις που παραμένουν άλυτες με την μέθοδο του διαβήτη και του χάρακα. Ήταν γνωστή στους μαθηματικούς της αρχαιότητας στην Αίγυπτο, την Ελλάδα και την Ινδία.^[1]

Ο διπλασιασμός του κύβου σημαίνει βάσει ενός γνωστού κύβο με πλευρές μήκους s και όγκου Β, να κατασκευάσουμε έναν νέο κύβο, μεγαλύτερο από τον πρώτο, με όγκο 2B και επομένως μήκος πλευρών $s\cdot\sqrt[3]{2}$ . Το πρόβλημα ως γνωστό είναι αδύνατο να λυθεί με διαβήτη και χάρακα, επειδή η κυβική ρίζα $\sqrt[3]{2}$ δεν είναι ρητός αριθμός.

[Επεξεργασία] Ο Μύθος

Οι πολίτες της Αθήνας το 430 π.Χ. ρώτησαν το μαντείο της Δήλου να τους πεί πώς να καταπολεμήσουν μια επιδημία που τους θέριζε. Ο χρησμός αποκρίθηκε ότι για να σταματήσει η πανούκλα, θα πρέπει οι πιστοί να διπλασιάσουν το μέγεθος του βωμού τους. Οι Αθηναίοι υπάκουσαν και διπλασίασαν το μήκος των πλευρών του βωμού, αλλά η πανούκλα αντί να καταπαύσει, αυξήθηκε.

Σύμφωνα με την σωστή ερμηνεία, θα έπρεπε να διπλασιάσουν τον όγκο του βωμού, όχι μόνο το μήκος των πλευρών του. Η λύση του προβλήματος βρέθηκε το 350 π.Χ. από τον Μέναιχμο (380 – 320 π.Χ), όταν η πανούκλα είχε περάσει. Από τότε το πρόβλημα αυτό έγινε γνωστό ως πρόβλημα της Δήλου.

[Επεξεργασία] Λύση

Υπάρχουν πολλοί τρόποι να κατασκευάσουμε $\sqrt[3]{2}$ , αλλά χρειαζόμαστε βοηθητικά εργαλεία πέρα του διαβήτη και του χάρακα. Παραδείγματος χάριν:

κατασκευάστε έναν χάρακα με την χαρακτηριστική μονάδα μήκους. Θα τον χριεαστείτε αργότερα.
Κατασκευάστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC με μήκος πλευράς 1.
Επεκτείνετε την πλευρά $\overline{AB}$ κατά μια μονάδα διαμορφώνοντας το ευθύγραμμο τμήμα $\overline{ABD}$ .
Επεκτείνετε την πλευρά $\overline{BC}$ διαμορφώνοντας την ακτίνα $\overrightarrow{BCE}$ .
Σύρετε τώρα την ακτίνα $\overrightarrow{DCF}$ .
Τώρα πάρτε τον χάρακα και τοποθετήστε τον έτσι ώστε να αγκίζει το σημείο Α και να τέμνει την ακτίνα $\overline{DCF}$ στο σημείο G και την ακτίνα $\overline{BCE}$ στο σημείο H,
έτσι ώστε η απόσταση GH να είναι ακριβώς 1.
Το ευθύγραμμο τμήμα AG θα έχει το ζητούμενο μήκος $\sqrt[3]{2}$ .

[Επεξεργασία] Άλλες λύσεις

Η αρχική λύση του Μέναιχμου περιλαμβάνει τη διατομή δύο κωνικών καμπυλών. Άλλες πιό περίπλοκες μέθοδοι περιλαμβάνουν το cissoid of Diocles του Διοκλή, το κογχοειδές του Νικομήδη, ή τη γραμμή Philo. Ο Αρχύτας ο Ταραντίνος έλυσε το πρόβλημα τον 4ο αιώνα π.Χ. χρησιμοποιώντας τρισδιάστατες γεωμετρικές κατασκευές.

[Επεξεργασία] Παραπομπές

↑ Lucye Guilbeau (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation", Mathematics News Letter 5 (4), p. 8-12.

[Επεξεργασία] Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Doubling the cube. J. J. O'Connor and E. F. Robertson in the MacTutor History of Mathematics archive.
To Double a Cube -- The Solution of Archytas. Excerpted with permission from A History of Greek Mathematics by Sir Thomas Heath.
Delian Problem Solved. Or Is It? at cut-the-knot.