Διαμερισμός συνόλου

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Διαμερισμός του συνόλου Α σε πέντε υποσύνολα.

Διαμερισμός, διαμέριση ή διαμελισμός ενός μη κενού συνόλου Α, είναι ένα σύνολο $U = {U i}$ υποσυνόλων του Α, τα οποία είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους και επιπλέον έχουν ένωση το σύνολο Α:

$\forall i\not=j(U_i\cap U_j = \emptyset)$ και $\bigcup_i U_i = A$

Κάθε διαμερισμός U ενός συνόλου A ορίζει μία σχέση ισοδυναμίας $\equiv_U$ μεταξύ των στοιχείων του συνόλου, ως εξής:

$a \equiv_U b$ αν και μόνο αν $\exists i,\ a,b\in U_i$

Αντίστροφα, κάθε σχέση ισοδυναμίας σε σύνολο επάγει και έναν διαμερισμό του συνόλου, που ορίζεται από τις κλάσεις ισοδυναμίας της.

Ο διαμερισμός ενός συνόλου χαρακτηρίζεται λεπτός ή αδρός ανάλογα με το πλήθος των υποσυνόλων που τον απαρτίζουν. Συγκεκριμένα, αν $\{U_i\}_{i\in I}$ και $\{V_j\}_{j\in J}$ είναι δύο διαφορετικοί διαμερισμοί του ίδιου συνόλου, λέμε οτι ο πρώτος είναι λεπτότερος απο το δεύτερο και ο δεύτερος αδρότερος απο τον πρώτο, αν ο πληθάριθμος του I είναι μεγαλύτερος απο τον πληθάριθμο του J.