Urysohn-Raum

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In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind Urysohn-Räume (benannt nach Pavel Urysohn) spezielle topologische Räume, die gewisse Eigenschaften erfüllen.

[Bearbeiten] Definition

Sei X ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte x und y durch abgeschlossene Umgebungen getrennt sind, falls disjunkte abgeschlossene Umgebungen x und y existieren.

X ist ein Urysohn-Raum, falls je zwei verschiedene Punkte durch abgeschlossene Mengen getrennt sind. Man sagt auch, dass X das Trennungsaxiom T_2½ erfüllt.

[Bearbeiten] Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen

Jeder Urysohn-Raum ist ein Hausdorff-Raum und erfüllt somit die Trennungsaxiome T₀, T₁ und T₂.

Andererseits ist jeder reguläre Hausdorff-Raum wie auch jeder vollständige Hausdorff-Raum ein Urysohn-Raum.

[Bearbeiten] Beispiel

Im Folgenden konstruieren wir einen topologischen Raum, der ein Urysohn-Raum, aber kein regulärer Raum und auch kein vollständiger Hausdorff-Raum ist. Sei dazu S die Menge der rationalen Punkte im Einheitsquadrat in $\mathbb{Q}^2$ , ohne die Paare, mit der ersten Koordinate ½. Weiter sei X die Menge S vereinigt mit den Punkten $(0,0)$ und $(1,0)$ und allen Punkten $(1/2,r\sqrt{2})$ , wobei r über alle rationalen Zahlen $0<r<1/\sqrt{2}$ läuft. Die offenen Mengen sind durch folgende Umgebungsbasen gegeben:

für die Punkte aus S die von der euklidischen Topologie induzierten,
für $(0,0)$ die Punkte der Form $(x, y)$ , wobei $0 < x < 1 / 4$ und $0 < y < 1 / n$ für alle natürlichen Zahlen n zusammen mit $(0,0)$ ,
für $(1,0)$ die Punkte der Form $(x, y)$ , wobei $3 / 4 < x < 1$ und $0 < y < 1 / n$ für alle natürlichen Zahlen n, zusammen mit $(1,0)$ ,
für $(1/2,r\sqrt{2})$ die Punkte der Form $(x, y)$ , wobei $1 / 4 < x < 3 / 4$ und $|y-r\sqrt{2}|<1/n$ .