Tangentialebene
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Die Tangentialebene einer Fläche ist diejenige Ebene, die im betrachteten Punkt die Fläche berührt. Sie steht senkrecht auf dem Normalenvektor der Fläche. Sie bildet den zweidimensionalen Spezialfall eines Tangentialraums einer Mannigfaltigkeit.
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[Bearbeiten] Definition
Es sei 
eine Fläche und 
ein Punkt.
- Die Tangentialebene TpM ist die Ebene durch p, die von den Geschwindigkeitsvektoren von durch p verlaufenden Wegen aufgespannt wird: Ist die Funktion
ein Weg mit γ(0) = p, so ist 
ein Punkt der Tangentialebene. Da die Tangentialebene zweidimensional ist, genügen zwei solcher Wege (in verschiedene Richtungen), um die Tangentialebene aufzuspannen.
Mit anderen Worten: Legt man zwei verschiedene Ebenen durch p, betrachtet dann deren Schnittkurven mit der untersuchten Fläche und spannt mit deren Tangenten an p eine Ebene auf, so ist dies die Tangentialebene.
[Bearbeiten] Beispiel
Ist p = (x0,y0,z0) ein Punkt auf dem Ellipsoid
so ist die Tangentialebene in p gegeben durch
[Bearbeiten] Eigenschaften
Ist die Gauß-Krümmung der Fläche
- positiv, so liegt die Fläche in der nähe des Berührungspunktes auf nur einer Seite der Tangentialebene; man kann sich die Fläche dann als an einem Punkt auf die Ebene aufgelegt vorstellen;
- negativ, so wird die Fläche von der Tangentialebene geschnitten.
[Bearbeiten] Anwendungen
Die Tangentialebene ist eine lokale Approximation an die Fläche, die eine einfachere Struktur besitzt. Dies wird beispielsweise genutzt für:
- Abbildungen (Projektionen von Flächen auf eine Ebene, wie es etwa für Karten notwendig ist)
- vereinfachte Berechnung ebener Koordinaten in der Vermessungskunde
- Korrektur von Höhenmessungen wegen der Erdkrümmung.
