Stumpfer Winkel

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Einen Winkel nennt man stumpf, falls sein Wert zwischen 90° und 180° (Gradmaß) bzw zwischen $π$ /2 und $π$ (Bogenmaß) liegt.

In der linearen Algebra heißt eine Familie von Vektoren stumpfwinklig, falls der Winkel zwischen je zwei (verschiedenen) dieser Vektoren stumpf ist. Die formale Definition lautet wie folgt:

Sei $S=\{v_1,v_2,...,v_k\} \subset \mathbb{R}^n$ eine Familie von Vektoren und $\langle\cdot,\cdot\rangle$ das kanonische Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^n$ . Dann heißt S stumpfwinklig, falls gilt $\langle v_i,v_j\rangle<0$ , für $1\leq i<j\leq k$

Es lässt sich zeigen, dass eine stumpfwinklige Familie im $\mathbb{R}^n$ höchstens $n + 1$ Vektoren enthalten kann.

Liegt eine symmetrische Konfiguration von $n + 1$ Vektoren im $\mathbb{R}^n$ vor, so gilt für den Winkel $\varphi$ zwischen je zwei (verschiedenen) Vektoren: $\varphi=\arccos(-\frac{1}{n})$ . Im Fall $n = 3$ beispielsweise beschreibt eine symmetrische Konfiguration von vier Vektoren gleicher Länge ein reguläres Tetraeder. Daraus erhält man direkt den Tetraederwinkel $\tau=\arccos(-\frac{1}{3})\approx109.47^\circ$

Kategorie: Lineare Algebra

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