Satz von Gauß-Markow

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Der Satz von Gauß-Markow ist ein mathematischer Satz aus dem Bereich der Statistik. Er ist nach den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und Andrei Andrejewitsch Markow benannt.

In Worten lautet dieser Satz: Der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer (BLUE – best linear unbiased estimator) in einem linearen Modell, wenn die zufälligen Fehler (nicht-erklärten Abweichungen):

unkorreliert sind (keine Autokorrelation),
einen Erwartungswert von Null haben und
die gleiche Varianz haben (Homoskedastizität).

Mathematisch kann dies auf folgende Weise wiedergegeben werden: Voraussetzung ist, dass man ein Lineares Modell in der Form

$\underline Y = \underline X \underline \beta + \underline \epsilon$

vorliegen hat, wobei $\underline Y$ eine $n$ -dimensionale und $\underline \beta$ eine $p$ -dimensionale Zufallsvariable sei (siehe Regressionsanalyse). Hierbei nimmt man von der Datenmatrix $\underline X \in \mathbb{R}^{n \times p}$ an, dass sie vollen (Spalten-)Rang hat, das heißt es gilt $\mbox{Rang}(\underline{X})=p \;$ bzw. $det(\underline{X}^T \underline{X}) > 0$ . Für den Erwartungswert der Fehler nimmt man an, dass $E(\underline{\epsilon})=0 \;$ ist. Ferner erwartet man für die Varianz der Fehler, dass $\mbox{Cov}(\underline{\epsilon})=\sigma^2 I_n$ gilt.

Damit erhält man:

$\underline b = (\underline {X}^T \underline X )^{-1} \underline {X}^T \underline y$ ist BLUE für $\underline \beta$ .
$\mbox{Cov}(\underline{b})=\sigma^2 (\underline{X}^T \underline{X})^{-1}$
$s^2 = SS_{Res} / (n-p) \;$ ist unverzerrter Schätzer für $\sigma^2 \;$