Retraktion

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Dieser Artikel befasst sich mit dem mathematischen Begriff Retraktion. Ein Artikel über den gleichnamigen medizinischen Begriff findet sich unter Retraktion (Medizin)

In der Kategorientheorie versteht man unter einer Retraktion einen Morphismus f, der ein Rechtsinverses besitzt, das heißt, zu dem es einen Morphismus g gibt mit f o g = id.

Ein Objekt X einer Kategorie $\mathcal{C}$ heißt Retrakt eines Objekts $Y\in |\mathcal{C}|$ , wenn es in $\mathcal{C}$ einen Pfeil $f\colon X\to Y$ und eine Retraktion $r\colon Y\to X$ zu f, also einen Pfeil r mit $r\circ f=id_X$ , gibt.

Inhaltsverzeichnis

1 Topologische Räume
2 Spezielle Kategorien
- 2.1 Topologische Räume
  - 2.1.1 Deformationsretrakt
- 2.2 Pfeilkategorie

[Bearbeiten] Topologische Räume

In der Topologie, also in der Kategorie Top, versteht man unter einer Retraktion eine stetige Funktion $f: X \to X$ , derart, dass f auf einer Teilemenge Y von X die Identität ist, also f alle Punkte von Y unverändert lässt, mit anderen Worten: f(y)=y für alle y aus Y.

[Bearbeiten] Spezielle Kategorien

[Bearbeiten] Topologische Räume

Ein Teilraum A eines topologischen Raums X heißt Retrakt von X, wenn es eine Retraktion r zur Einbettung $i\colon A\to X$ gibt.

A ist genau dann Retrakt von X, wenn jede stetige Abbildung $f\colon A\to Y$ stetig zu einer Abbildung $g\colon X\to Y$ fortgesetzt werden kann:

Gibt es eine Retraktion $r\colon X\to A$ , so ist $g := f \circ r$ stetige Fortsetzung.
Eine Fortsetzung von $i d A$ zu einer stetigen Abbildung $r\colon X\to A$ ist eine Retraktion.

[Bearbeiten] Deformationsretrakt

A heißt Deformationsretrakt, wenn $i\circ r$ homotop zu $i d X$ relativ A ist.

Deformationsretraktionen sind spezielle Homotopieäquivalenzen, die diese Äquivalenzrelation erzeugen.

[Bearbeiten] Pfeilkategorie

Ein Pfeil f ist Retrakt eines Pfeils g, wenn es eine natürliche Transformation $\eta\colon f\to g$ und eine Retraktion $r\colon g\to f$ gibt, also das folgende Diagramm kommutiert: