Benutzer:Quilbert/Frequenzbesen ↔ Abtasttheorem

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Angenommen, man geht nicht von einem „scharfen“ Frequenzbesen, sondern von einem „sinusförmigen“ aus, nämlich so:

Die Zeilen, auf die dann diskretisiert wird, sind durch die schwarzen Balken voneinander abgetrennt. Diskretisiert sieht das dann so aus:

Versucht man nun eine Rekonstruktion gemäß Abtasttheorem (vertikale Faltung mit der Spaltfunktion), dann kommt folgendes heraus:

Man sieht sehr schön die Stelle in der Mitte, ab der die Frequenzbedingung des Abtasttheorem nicht mehr erfüllt ist. In diesem Kontext sieht man also, was der Autor wahrscheinlich gemeint hat. Auch von Interesse: Im linken Teil des Bildes sieht man am Rand die Artefakte, die durch die nur endliche Zahl an Abtaststellen (hier 41) entstehen, wodurch eine 100%-ige Rekonstruktion verhindert wird. Außerdem ist unser Testsignal strenggenommen nicht bandbeschränkt aufgrund des „Aneinanderklebens“ der verschiedenen Bereiche (Sinus + weiße Fläche), was man an der leichten Verformung um die kritische Vertikale herum sieht.

Ist das sinusförmige Signal um 90° Phasenverschoben, bekommen wir dieses Bild:

Fügt man zwecks Annäherung an die Rechteckfunktion die 3. Oberwelle hinzu, bekommt man folgendes (vollständige Rekonstruktion links):

Dasselbe mit der 5. Oberwelle:

Interessant zum Vergleich: Das Rechtecksignal, nicht diskretisiert, aber tiefpassgefiltert auf das gemäß Abtasttheorem zulässige Band:

Auf Anfrage: