Poincaré-Bendixson-Theorem

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

In der Mathematik ist das Poincaré–Bendixson-Theorem ein Satz über das Verhalten von Bahnkurven in zweidimensionalen stetigen dynamischen Systemen.

[Bearbeiten] Theorem

Das Theorem existiert in einigen äquivalenten Formulierungen. Eine davon ist die folgende:

Sei F ein zweidimensionales dynamisches System, das durch

definiert ist. Hierbei seien f und g stetig differenzierbare Funktionen von x und y. Sei S eine geschlossene beschränkte Untermenge des zweidimensionalen Phasenraums von F, die keinen stationären Punkt von F enthält, und sei C eine Bahnkurve von F, die S nie verlässt. Dann ist C entweder ein Zykel oder C konvergiert gegen einen Zykel.

Man beachte, dass dieser Satz in höheren Dimensionen falsch ist. Das liegt vor allem an der Anwendung des jordanschen Kurvensatzes im Beweis.

[Bearbeiten] Geschichte

Eine schwächere Form dieses Satzes wurde ursprünglich von dem französischen Mathematiker Henri Poincaré verfasst, obwohl er keinen vollständigen Beweis kannte. Im Jahr 1901 schließlich bewies der schwedische Mathematiker Ivar Otto Bendixson den vollständigen Satz.