Kendalls Konkordanzkoeffizient

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Kendalls Konkordanzanalyse (nach Maurice George Kendall) ist ein nicht-parametrisches statistisches Verfahren zur Quantifizierung der Übereinstimmung zwischen mehreren Beurteilern (Ratern). Damit stellt Kendalls Konkordanzkoeffizient W eine Alternative zu

Kappa-Statistiken - die für nominalskalierte Daten gedacht sind - und

Rangkorrelationskoeffizienten für Ordinaldaten (wie Spearmans $ρ$ und Kendalls $τ$ - die hauptsächlich für zwei Beurteiler gedacht sind -

dar.

Der Konkordanzkoeffizient W ähnelt dem Cronbachs Alpha zur Bestimmung der Reliabilität z.B. eines Testverfahrens. Er nimmt Werte zwischen 0 und 1 an.

[Bearbeiten] Formel

Wenn $j = 1,2,3,... m$ Beurteiler die $i = 1,2,... N$ Fälle (=Beobachtungsobjekte, Personen, Merkmale) in eine Rangreihe bringen, erhält jeder Fall von jedem Beurteiler einen Rangplatz; die Summe aller vergebenen Rangplätze für einen Fall $i$ ist dann $T i$ .

Wenn ein Beurteiler $j$ einem Fall keinen eindeutigen Rangplatz (1,2,3,...N) zuweist, sondern sich z.B. mehrere Fälle einen Rangplatz teilen müssen, spricht man dabei von "Rangbindung". Die Anzahl der Fälle, die sich bei einem Beurteiler $j$ jeweils einen konkreten Rangplatz $k$ teilen, nennt man Rangbindungslänge $t k$ .

Natürlich können auch bei einem Beurteiler mehrere Rangbindungen auftreten, wenn Fälle gleich eingeschätzt werden. Die Gesamtzahl der Rangbindungen bei einem Beurteiler $j$ lautet $s j$ .

Kendalls W wird daraus wie folgt berechnet:

$W = \frac {12 \cdot (\sum_{i=1}^N T_i^2 - \frac {(\sum_{i=1}^N T_i)^2}{N})} {m^2 (N^3-N) - m \cdot \sum_{j=1}^m T}$

wobei

$T = \sum_{k=1}^{s_j} (t_k^3 - t_k)$ .

W steht mit dem Friedman-Koeffizient $χ 2$ (englischer Artikel) sowie dem Rangkorrelationskoeffizient $ρ$ von Spearman in direkter Beziehung:

$\chi^2 = m \cdot (N-1) \cdot W$ und

$\bar\rho = \frac {m \cdot (W-1)} {(m-1)}$ ,

wobei $\bar\rho$ den Mittelwert aller Rangkorrelationen zwischen den möglichen Kombinationen aus jeweils 2 Beurteilern $\bar\rho = \begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix}^{-1} \sum \sum \rho$ darstellt.