Hopf-Faserung

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Die Hopf-Faserung (nach Heinz Hopf) ist eine bestimmte Abbildung im mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abbildung der 3-Sphäre, die man sich als den dreidimensionalen Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt vorstellen kann, in die 2-Sphäre, also eine Kugeloberfläche:

Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung der Abbildung 1.1 Mit reellen Zahlen 1.2 Mit komplexen Zahlen 1.3 Mit Liegruppen 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerungen 4 Geschichte 5 Literatur

[Bearbeiten] Beschreibung der Abbildung

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die Abbildung konkret anzugeben.

[Bearbeiten] Mit reellen Zahlen

Die Abbildung

mit

y₁ = 2(x₁x₃ + x₂x₄)

y₂ = 2(x₂x₃ − x₁x₄)

bildet die 3-Sphäre auf die 2-Sphäre ab. Diese Einschränkung ist die Hopf-Abbildung.

[Bearbeiten] Mit komplexen Zahlen

Die 3-Sphäre werde als die Teilmenge

des zweidimensionalen komplexen Raums aufgefasst, die 2-Sphäre als riemannsche Zahlenkugel. Dann ist die Hopf-Abbildung durch

gegeben. Fasst man die riemannsche Zahlenkugel als projektive Gerade auf, so kann man die Abbildung unter Verwendung homogener Koordinaten auch als

schreiben.

[Bearbeiten] Mit Liegruppen

Die 3-Sphäre ist diffeomorph zur Liegruppe Spin(3), die als Überlagerung der Drehgruppe SO(3) auf der 2-Sphäre operiert.

[Bearbeiten] Eigenschaften

• Die Hopf-Abbildung ist ein Faserbündel mit Faser S¹ (sogar ein S¹-Prinzipalbündel).
• Die Hopf-Abbildung erzeugt die Homotopiegruppe .

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

Die oben angegebene Beschreibung mithilfe komplexer Zahlen kann auch stattdessen mit Quaternionen oder mit Cayley-Zahlen durchgeführt werden; man erhält dann Faserungen

bzw. ,

die ebenfalls als Hopf-Faserungen bezeichnet werden.

[Bearbeiten] Geschichte

Heinz Hopf gab diese Abbildung 1931 in seiner Arbeit Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche an und zeigte, dass sie nicht nullhomotop ist (genauer: dass ihre Hopf-Invariante gleich 1 ist).

[Bearbeiten] Literatur

• Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)