Faulhabersche Formel

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Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johann Faulhaber, beschreibt, wie sich die Summe der ersten n p-ten Potenzen

$\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p \qquad \left(\mbox{mit } p \in \mathbb{N} \right)$

mit einem Polynom in n vom Grad p+1 berechnen lässt. Zur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli-Zahlen benötigt. Im Folgenden bezeichne $B j$ die $(j + 1)$ -te Bernoulli-Zahl, mit der Ausnahme $B_1=\frac{1}{2}$ , dann sieht die Faulhabersche Formel wie folgt aus:

$\sum_{k=1}^n k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{mit } B_1 = {1 \over 2} \mbox{ anstatt }-{1 \over 2}\right)$

[Bearbeiten] Explizite Berechnung einiger Fälle

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = {n(n+1) \over 2} = {n^2 + n \over 2}$

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6}$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left({n^2 + n \over 2}\right)^2 = {n^4 + 2n^3 + n^2 \over 4}$

$1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = {6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \over 30}$

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 \over 12}$

$1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 = {6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n \over 42}$

[Bearbeiten] Eine alternative Darstellung

Wenn man statt den ersten n nur die ersten n-1 Potenzen betrachtet, so kann man die Faulhabersche Formel auch ohne die Ausnahme für $B 1$ beschreiben und $B 1$ steht dann für die zweite Bernoulli-Zahl:

$\sum_{k=1}^{n-1} k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{mit } B_j = (j+1)\mbox{-te Bernoulli-Zahl}\right)$

[Bearbeiten] Zusammenhang mit Bernoulli-Polynomen

Die Summe der ersten n p-ten Potenzen lässt sich auch mit Hilfe von Bernoulli-Polynomen ausdrücken:

$\sum_{k=0}^{n} k^p = \frac{\varphi_{p+1}(n+1)-\varphi_{p+1}(0)}{p+1},$

Hierbei bezeichnet φ_j das j-te Bernoulli-Polynom.

[Bearbeiten] Faulhaber-Polynome

Die Summen ungerader Potenzen

$\sum_{k=1}^n k^{2p+1} = 1^{2p+1} + 2^{2p+1} + 3^{2p+1} + \cdots + n^{2p+1} \qquad \left(\mbox{mit } p \in \mathbb{N}_0 \right)$

lassen sich auch als Polynom in $N=1+\ldots+n$ darstellen, solche Polynome in $N$ statt in $n$ werden auch als Faulhaber-Polynome bezeichnet.

Einige Beispiele:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = N^2\,$

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = \frac{4N^3 - N^2}{3}$

$1^7 + 2^7 + 3^7 + \cdots + n^7 = \frac{12N^4 -8N^3 + 2N^2}{6}$

$1^9 + 2^9 + 3^9 + \cdots + n^9 = \frac{16N^5 - 20N^4 +12N^3 - 3N^2}{5}$

$1^{11} + 2^{11} + 3^{11} + \cdots + n^{11} = \frac{32N^6 - 64N^5 + 68N^4 - 40N^3 + 5N^2}{ 6}$

[Bearbeiten] Historisches

Johann Faulhaber selbst kannte die Formel nicht in der hier beschriebenen Form, sondern berechnete lediglich die ungeraden Fälle $p=1,3,5,\ldots,17$ als Polynom in $N=1+\ldots+n$ und vermutete das es für alle ungeraden Zahlen p ein entsprechendes Polynom existierte ohne jedoch einen Beweis dafür zu haben. Das Konzept der Bernoulli-Zahlen war ihm ebenfalls nicht bekannt. Im Jahre 1834 veröffentlichte Carl Gustav Jacob Jacobi den ersten bekannten Beweis. Weitere Beweise wurden unter anderem von L.Tits (1923) und A.W.F. Edwards (1986) publiziert. Donald Ervin Knuth untersuchte Verallgemeinerungen und trug zur Popularisierung der Faulhaberschen Formel bei.

[Bearbeiten] Literatur

John H. Conway, Richard Guy: The Book of Numbers. Copernicus, New York 1998, ISBN 0-387-97993-X, Seite 107.
Eric Weisstein: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton 2003, ISBN 1-58488-347-2, Seite 2331.
"Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden", Academia Algebrae, Johann Faulhaber, Augpurg, bey Johann Ulrich Schöigs, 1631. Call number QA154.8 F3 1631a f MATH at Stanford University Libraries.

[Bearbeiten] Siehe auch

Euler-Maclaurin-Formel

[Bearbeiten] Weblinks

Eric W. Weisstein: Faulhaber's formula auf MathWorld
Faulhaber-Biographie bei MacTutor
"Johann Faulhaber and Sums of Powers" by Donald Knuth
Jacobi's Beweis bei MathDoc (in Latein)

Kategorien: Diskrete Mathematik | Algebra | Folgen und Reihen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Explizite Berechnung einiger Fälle

[Bearbeiten] Eine alternative Darstellung

[Bearbeiten] Zusammenhang mit Bernoulli-Polynomen

[Bearbeiten] Faulhaber-Polynome

[Bearbeiten] Historisches

[Bearbeiten] Literatur

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

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