Faktorisierung von Polynomen

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Als Faktorisierung von Polynomen in der Algebra versteht man analog zur Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen das Zerlegen von Polynomen in Faktoren.

Inhaltsverzeichnis

1 Erklärung für Nicht-Mathematiker
2 Mathematische Beschreibung
3 Beispiele
4 Algorithmen

[Bearbeiten] Erklärung für Nicht-Mathematiker

Jede ganze Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen:

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

Ähnlich lassen sich Polynome in Faktoren zerlegen:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1) \cdot (x-1) = (x-1)^2$

Eine Faktorisierung hat immer die Form:

$(x - a_1) \cdot (x-a_2) \cdot (x-a_3) \cdot (x-a_4) \cdot \dots$

Wobei $a_1, a_2, \dots$ die Nullstellen des Polynoms sind. Doch Vorsicht! Manche Nullstellen kommen mehrfach vor, deswegen kann man nicht einfach nur die Nullstellen bestimmen: Von $x 2$ ist 0 die einzige Nullstelle, daraus könnte man folgern, die Faktorisierung ist $x$ , sie ist jedoch $x \cdot x$ .

Falls das Polynom komplexe Nullstellen besitzt, enthält die Faktorisierung komplexe Zahlen:

$x^2 + 1 = (x + \mathrm{i}) \cdot (x - \mathrm{i})$

Die Anzahl der Faktoren entspricht dem Grad des Polynoms:

$\underbrace{(x+1)(x-2)(x-2)}_{\mathrm{3~St\ddot uck}} = \underbrace{x^3 - 3x^2 + 4}_{\mathrm{Grad~3}}$

Oben wurde gesagt, dass die Anzahl der Nullstellen nicht unbedingt der Anzahl der Faktoren entspricht. Es gilt jedoch: Die Anzahl der Faktoren entspricht der Anzahl der Nullstellen mal der entsprechenden Vielfachheiten bzw. Ordnungen. So lässt sich die Faktorisierung bestimmen:

Beispiel

$f (x) = x 4 - 4 x 2$

Über Substition mit $z = x 2$ :

$f (x) = z 2 - 4 z$

Die Nullstellen sind: $z 1 = 0$ und $z 2 = 4$ . Rücksubstitution:

$z = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{z}$

Die Nullstellen sind 0, 2 und -2. Die Vielfachheiten lassen sich über die Ableitungen bestimmen:

$f'(x) = 4 x 3 - 8 x$

$f''(x) = 12 x 2 - 8$

$f'''(x) = 24 x$

$f''''(x) = 24$

Nun ist:

$f(0) = f'(0) = 0 \ne f''(0) = -8 \Rightarrow \mbox{Die Vielfachheit ist 2}$

$f(2) = 0 \ne f'(2) = 16 \Rightarrow \mbox{Die Vielfachheit ist 1}$

$f(-2) = 0 \ne f'(-2) = -16 \Rightarrow \mbox{Die Vielfachheit ist 1}$

Die Faktorisierung ist nun:

$f(x) = (x - 0) \cdot (x - 0) \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) = x^2 \cdot (x+2) \cdot (x-2)$

[Bearbeiten] Mathematische Beschreibung

Dabei versucht man, für ein gegebenes Polynom $p$ aus einem Polynomring $R$ eine endliche Menge $\lbrace p_1, ..., p_n \rbrace \subseteq R$ zu finden, sodass $p = \prod_{i=1}^n p_i$ .

In einem faktoriellen Ring existiert dabei ein Primsystem, sodass diese Darstellung bis auf die Reihenfolge und Assoziiertheit eindeutig ist und jedes $p i$ ein Element des Primsystems ist. In Ringen, die nicht faktoriell sind, ist es im Allgemeinen nicht möglich, eine eindeutige Faktorisierung zu finden.

Über dem Körper der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ lässt sich jedes Polynom $n$ -ten Grades als Produkt von genau $n$ Linearfaktoren $X - b i$

$p = \sum_{k=0}^n a_k X^k = c \prod_{i=1}^n (X - b_i)$

schreiben. Dies ist eine der Aussagen des Fundamentalsatzes der Algebra. Man sagt, das Polynom zerfällt in seine Linearfaktoren. Die $b i$ sind genau die Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion. Hinzu kommt ein Faktor $c$ , da Vielfache eines Polynoms dieselben Nullstellen haben.

Die algebraisch abgeschlossenen komplexen Zahlen sind eine Körpererweiterung der Dimension 2 über den reellen Zahlen. Daher lassen sich Polynome aus $\mathbb{R}[X]$ (der Polynomring über den reellen Zahlen) als Produkt von quadratischen und linearen Faktoren darstellen.

[Bearbeiten] Beispiele

Das Polynom $x 2 - 1$ hat die Nullstellen $-1,\, 1$ und damit die Faktorisierung

$x^2 - 1 = (x+1)\cdot(x-1)$
Das Polynom $x 2 + 1$ hat die komplexen Nullstellen $-\mathrm{i},\,\mathrm{i}$ und damit die Faktorisierung

$x^2 + 1 = (x+\mathrm{i})\cdot(x-\mathrm{i})$

[Bearbeiten] Algorithmen

Elwyn Ralph Berlekamp veröffentlichte 1967 den Berlekamp-Algorithmus, mit dem Polynome über dem Restklassenkörper $\mathbb{F}_p$ faktorisiert werden können.