Diskussion:Archimedisches Axiom

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Vorschlag: keine Logik, dafür Algebra (wg. archimedischen Beträgen).--Gunther 18:34, 3. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] A.A. vs Supremum-Axiom

Da hat jemand einen "Beweis" hinzugefügt, was bei einem Axiom doch recht stutzig macht. Nun will er in diesem Beweis das arch. Axiom aus einem "Supremums Axiom" beweisen. Ich kenne "Supremumsaxiom" nur als eine äquivalente Formulierung des Vollständigkeitsaxioms, aus dem a) nicht das archimedische Axiom folgt b) enstprechend auch nichts entfernt verwandtes zu dem, was jetzt in dem Artikel steht. Ich glaube, der User hat hier eher eine äquivalente Formulierung des archimedischen Axioms benutzt und dieses damit aus sich selbst heraus bewiesen. Sollte niemand anderer Meinung sein, würde ich den Abschnitt entfernen. --Chef Diskussion 16:14, 11. Mai 2005 (CEST)

Das Supremumsaxiom besagt, dass jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum, d.h. eine kleinste obere Schranke besitzt. Gezeigt wird, dass zu jedem x>0 die Menge \{nx\} nach oben unbeschränkt ist: Wäre y_0 das Supremum, so gäbe es ein m, so dass mx>y_0-x ist (ansonsten wäre y_0-x eine obere Schranke). Also wäre (m+1)x>y_0, Widerspruch. Das Supremumsaxiom ist wohl deshalb relevant, weil man Fälle wie {}^*\mathbb R ausschließen muss?--Gunther 16:35, 11. Mai 2005 (CEST)

OK, ich denke, ich verstehe es jetzt und habe etwas ergänzt; dabei auch eine Ungleichung verschärft. Bitte nochmal drübersehen. --Chef Diskussion 17:38, 11. Mai 2005 (CEST)

Die Argumentation scheint mir noch nicht schlüssig, weil bei reelle Zahl#Axiomatische Einführung der reellen Zahlen die Ordnungsvollständigkeit (d.h. die Existenz eines Supremums) als konstituierend dargestellt wird, während sie bei archimedisches Axiom nur als weitere Möglichkeit bezeichnet wird. Die Phrasen "es wird es oft..." und "Man kann allerdings auch..." müssten, um die Sache durchsichtig zu machen, dem Sinne nach vertauscht werden. -- Peter Steinberg

Mir sind nur zwei Möglichkeiten bekannt, die reellen Zahlen einzuführen: entweder als ordnungsvollständigen Körper oder als Vervollständigung der rationalen Zahlen. In beiden Fällen ist das archimedische Axiom Folge, nicht Voraussetzung. Wann braucht man es überhaupt als Axiom (außer evtl. in der Geometrie)?--Gunther 00:14, 12. Mai 2005 (CEST)