Forhold mellem ortogonale linjer
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
I analytisk plangeometri findes der en sætning der beskriver forholdet mellem ortogonale (vinkelrette) linjer.
[redigér] Sætningen
Hvis vi kalder de to linier m1 og m2 siger sætningen om disse:
Dette skal bevises.
[redigér] Beviset
Vi betragter tegningen. Kan vi se at;
Vi benytter og af Pythagoras' læresætning. Og ovenstående må således medføre følgende, da vi må kunne danne en retvinklet trekant (ABC).
Vi ser på tegningen. Længden | BD | kan vi se er hældningskoefficienten af ligningen m1. Dette må være sandt, da vi går længden én ud af abscisseaksen (x-aksen) må vi gå α1 opaf ordinataksen (y-aksen). Dette gælder også for α2, med den undtagelse at denne er negativ i sig selv. Derfor skriver vi det negative fortegn, således at længden |DC| bliver positiv (da negative længder ingen mening giver). F.eks. − ( − 3) = 3.
Længderne |AB| og |AC| er hypotenuser i de to mindre retvinklet trekanter der er indtegnet. Så Pythagoras benyttes også til at beskrive disse. (Meget uformelt sagt, benytter vi nu Pythagoras inden i Pythagoras) Overstående udtryk medfører derfor:
Dette udtryk reduceres nu bare med elementært algebra:
Vi ser således at førse linje, , medfører den sidste linje, .
Sætningen er dermed bevist.