Pi
Oddi ar Wicipedia
Mae'r cysonyn mathemategol π (a sillafir hefyd fel pi) yn rhif real anghymarebol sydd yn fras yn hafal i 3.14159 (i 5 lle degol). Hwn yw'r gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr yn ôl geometreg Euclidaidd. Mae gan π nifer o ddefnyddiau mewn Mathemateg, Ffiseg a Peirianneg. Enwau arall am π yw Cysonyn Archimedes a Rhif Ludolph.
Taflen Cynnwys |
[golygu] π fel llythyren
Enw'r llythyren Roegaidd π yw pi. Defnyddir y sillafiad yma mewn cyd-destun cysodol pan nad oes modd defnyddio'r llythyren Roegaidd neu pan fydd defnyddiad y symbol yn gallu bod achosi dryswch.
[golygu] Diffiniad
Mewn geometreg Ewclidaidd, diffinir π fel y gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr, neu fel cymhareb arwynebedd cylch i arwynebedd sgwâr ag ochrau sy'n hafal i radiws y cylch. Gellir diffinio'r cysonyn π mewn ffyrdd eraill hefyd.
[golygu] Gwerth Rhifiadol
Gwerth π wedi ei flaendorri i 50 lle degol yw:
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
Mae cyfrifiaduron pwerus wedi cyfrifo gwerth rhifiadol π i driliwn o lefydd degol ond nid oes unrhyw batrwm syml o ddigidau wedi ei ddarganfod. Er bod modd cyfrifo π i filiynau o lefydd degol gan ddefnyddio cyfrifiaduron, dylid nodi fod gwerth wedi'i flaendorri i 39 lle degol yn ddigon cywir i gyfrifo cylchedd y bydysawd o fewn maint atom hydrogen o'r gwerth cywir. Pur anaml fod angen defnyddio mwy na 4 lle degol mewn gwaith gwyddonol neu ymarferol.
[golygu] Priodweddau
Mae π yn rhif anghymarebol (a hefyd yn rhif trosgynnol), ac felly mae gwerth union π yn ehangiad degol anfeidraidd, h.y. nid yw ehangiad degol π yn gorffen neu ailadrodd. Profwyd ei fod yn anghymarebol ym 1761 gan Johann Heinrich Lambert, a'i fod yn drosgynnol gan Ferdinand von Lindemann ym 1882. Dengys y ffaith fod π yn anghymarebol fod sgwario'r cylch yn amhosib.
[golygu] Calculating π
Gellir mesur π yn empeiraidd trwy lunio cylch mawr, mesur ei ddiamedr a'i gylchedd, a chyfrifo'r gymhareb. Yn ogystal, gellir cyfrifo π gan ddefnyddio dulliau mathemategol yn unig.
Dyma fformwla Leibniz:
Er bod y gyfres uchod yn un hawdd i'w hysgrifennu a'i chyfrifo, ond nid yw'n amlwg pam ei bod yn cydgyfeirio i π. Yn wir, mae'r cydgyfeirio mor araf fod 300 term yn annigonol i gyfrifo gwerth π i 2 le degol!
Ceir dull mwy greddfol trwy ddychmygu cylch â radiws r a'i ganol ar y tardd. Yna, fe fydd unrhyw bwynt (x,y) sydd â phellter d o'r tardd, a d yn llai nag r, o fewn y cylch. Gan ddefnyddio theorem Pythagoras:
Wedi canfod casgliad o bwyntiau o fewn y cylch, gellir amcangyfrifo A, arwynebedd y cylch. Gan mai π wedi lluosi â'r radiws sgwâr yw arwynebedd y cylch, gellir amcangyfrifo:
[golygu] Hanes
[golygu] Defnydd o'r symbol π
Enwyd y cysonyn yn "π" oherwydd π yw llythyren gyntaf y geiriau Groegaidd am berimedr (περίμετρος) ac amgant (περιφέρεια). Hyd a wyddys, William Jones, mathemategydd o Gymro, oedd y cyntaf i wneud hynny yn ei lyfr A New Introduction to Mathematics ym 1706. Daeth y nodiant hwn yn boblogaidd wedi i Leonhard Euler cychwyn ei ddefnyddio ym 1737.
