Centre de massa

De Viquipèdia

En física, el centre de massa d'un sistema de partícules o un sòlid continu es poden equiparar dinàmicament, en molts aspectes, a una partícula puntual de massa equivalent. La posició d'aquesta partícula s'anomena centre de massa del sistema o sòlid. El centre de massa d'un sistema de partícules és només funció de les masses i les posicions de les partícules i en general no cal que coincideixi amb la posició de cap d'elles. En el cas d'un solid el centre de massa és fix respecte d'aquest però no necessàriament està en contacte amb ell (per exemple, el centre de massa d'un dònut és al centre del forat).

En el context d'un camp gravitatori uniforme (com és el cas de la superfície de la Terra amb gran aproximació) correspon amb el centre de gravetat.

[edita] Determinació teòrica

El centre de massa $\vec R$ d'un conjunt de partícules es troba a la mitja de les posicions de les particules $\vec r_i$ ponderada per les seves masses $m i$ :

$\vec R = \frac 1M \sum m_i \vec r_i$

on $M$ és la massa total del sistema, igual a la suma de masses de les partícules.

En el cas d'un sòlid continu amb una densitat $\rho(\mathbf{r})$ , la suma esdevé una integral:

$\vec R =\frac 1M \int \vec r \; dm = \frac 1M \int\rho(\vec r)\, \vec r \ dV =\frac{\int\rho(\vec r)\, \vec r \ dV}{\int\rho(\vec r)\ dV}$

$dm = \rho \ dV$ ,

d m

és el diferencial de massa i

d V

és el diferencial de volum.

Si el sòlid té densitat uniforme el centre de massa correspon al centroide o baricentre de la seva forma geomètrica.

[edita] Determinació pràctica

Si sostenim un sòlid per un punt sense produir-li cap parell, aquest assolirà l'equilibri quan el seu centre de gravetat estigui sota la vertical del punt de sosteniment. Sostenint-lo des de diferents punts el centre de gravetat serà la intersecció de les diverses verticals.

Aquest mètode fa servir el pes del solid per trobar el centre de gravetat que correspon amb el centre de masses.

[edita] Història

El concepte de centre de gravetat va ser originalment descobert per Arquimedes de Siracusa, físic, matemàtic i inventor de l'antiga Grècia. Arquimedes va demostrar que el parell que exercien diversos pesos distribuïts sobre una palanca era el mateix que si els movia tots ells a un punt determinat (el centre de gravetat). En el seu treball sobre el principi d'Arquimedes va demostrar que l'orientació estable d'un cos surant era tal que el seu centre de gravetat resta el més baix possible. Va trobar la manera de determinar matemàticament el centre de massa d'objectes de densitat uniforme i forma ben definida, particularment: el triangle, la semiesfera, i el paraboloide circular truncat.