Niz

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Funkciju $f:\mathbf{N}\longrightarrow R$ kojoj je domena skup prirodnih brojeva $\mathbf{N}$ , a kodomena ma koji dati skup $R$ nazivamo brojni niz (slog) i označavamo sa $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ , odnosno sa $a(1),a(2),\ldots,a(n),\ldots$ .

U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake $\{a_n\}_{n\in\mathbf{N}}$ odnosno $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ .

Element $a (n)$ (tj. $a n$ ) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element $a 1$ prvi član niza.

Ako je domen funkcije $f$ konačan podskup skupa $\mathbf{N}$ , onda za niz $\{a_n\}=a_1,a_2,\ldots,a_n$ kažemo da je konačan, i označavamo ga sa $\{a_k\}_{k=1}^{n}$ .

Broj elemenata datog niza nemora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.

Primjer

Funkcija $a:\mathbf{N}\longrightarrow R$ data sa $a n = a (n) = 3 n$ za $\forall(n\in\mathbf{N})$ određuje niz

$3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, \ldots$

Niz ${a n}$ zadan formulom $a_n=\frac{1}{2}[5+(-1)^n]$ za $\forall(n\in\mathbf{N})$ , tj. $a_n = \left\{\begin{array}{cc} 3 &\mbox{ako je n paran} \\ 2&\mbox{ako je n neparan} \end{array}\right.$ glasi $2,3,2,3,2,3,\ldots$

Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang $R$ konačan skup ${2,3}$ .

[uredi] Važniji nizovi brojeva

[uredi] Fibonaccijev (Fibonački) niz

Glavni članak: Fibonaccijev broj

Fibonaccijev (Fibonački) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.

a_{(n + 2)} =a_n + a_{(n +1)}

Primjer

2, 3,5, 8,... 1, 1, 2, 3, ....

[uredi] Aritmetički niz

Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

a_{(n +1)} - a_n = a_{(n +2)} -a_{(n +1)}

Primjer

7, 9, 11, 13 ,.....

1,2 ,3, 4, 5, ...

[uredi] Geometrijski niz

Geometijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

[a_{(n +1)}]² =a_na_{(n +1)}

[uredi] Tačka gomilanja niza

Neka je $ε$ neki pozitivan broj i $x_0\in R$ . Pod $ε$ - okolinom tačke $x 0$ , u oznaci $O ε (x 0)$ ili $O (x 0)$ podrazumijevamo skup

$O_{\epsilon}(x_0)=\{x\in R:|x-x_0|<\epsilon\}$

$ε$ - okolina tačke $x 0$ je otvoreni interval $(x 0 - ε, x 0 + ε)$ dužine $2ε$ .

Broj $\alpha\in R$ nazivamo tačkom gomilanja niza ${a n}$ ako svakoj $ε$ - okolini tačke $α$ pripada beskonačno mnogo članova niza ${a n}$ .

Dati niz ${a n}$ može imati više tačaka gomilanja

[uredi] Ograničeni nizovi

Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.

Za niz ${a n}$ kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je $a_n\leq r$ za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je $a_n\geq s$ za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je $s\leq a_n\leq r$ za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.

Primjer

Niz $\{(-1)^{n-1}(2+\frac{3}{n})\}$ je ograničen. Za svako n je $-\frac{7}{2}\leq a_n\leq 5$

[uredi] Nizovi funkcija

Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.

Niz funkcija $f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots$ označavamo kraće sa $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ odnosno $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$

[uredi] Konvergencija nizova

Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.

Ako je ${a n}$ dati niz i $α$ realan broj, onda za broj $α$ kažemo da je granična vrijednost niza ${a n}$ ako za svaki $ε > 0$ postoji prirodan broj $n 0 = n 0 (ε)$ (koji može da ovisi od $ε$ ) takav da za sve prirodne brojeve $n > n 0$ vrijedi nejednakost:

| a n - α | < ε

U tom slučaju pišemo $\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n=\alpha$ odnosno $a_n\longrightarrow\alpha$ kada $n\longrightarrow\infty$ i čitamo: $α$ je granična vrijednost niza ${a n}$ kada n teži u beskonačnost odnosno $a n$ konvergira broju $α$ .

Ako je $α = 0$ , onda niz ${a n}$ nazivamo nula niz.

Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.

Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj $α$ naziva se granična vrijednost niza ${a n}$ ako se u svakoj njegovoj $ε$ - okolini nalaze gotovo svi članovi niza ${a n}$ , sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.

Primjer

Niz $\{\frac{2n+1}{n}\}$ konvergira broju 2

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:

Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
Konvergentan niz je ograničen

Za niz ${a n}$ kažemo da divergira u $+\infty$ ako za svaki realan broj $A > 0$ postoji prirodan broj $n 0 (A)$ takav da za sve $n > n 0 (A)$ vrijedi: $a n > A$ , i u tom slučaju pišemo $\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n = +\infty$ odnosno da $a_n\longrightarrow +\infty$ .

Za niz ${a n}$ kažemo da divergira u $-\infty$ ako za svaki realan broj $B < 0$ postoji prirodan broj $n 0 (B)$ takav da za sve $n > n 0 (B)$ vrijedi: $a n < B$ , i u tom slučaju pišemo $\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n = -\infty$ odnosno da $a_n\longrightarrow -\infty$ .

[uredi] Konvergencija funkcionalnih nizova

U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.

[uredi] Konvergencija po tačkama

Neka je $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$ neki niz funkcija definisanih na nekom skupu $D$ . Ako odaberemo neko proizvoljno $x_0\in D$ , onda stavljajući $x = x 0$ dobivamo brojni niz ${f n (x 0)}$ .

Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz ${f n (x)}$ konvergira u tački $x 0$ .

Ako niz ${f n (x)}$ konvergira u svakoj tački $x\in D$ , onda kažemo da niz konvergira na $D$ .

Ovaj vid konvergencije niza $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$ često nazivamo konvergencija po tačkama.

[uredi] Ravnomjerna (uniformna) konvergencija

Neka su na nekom skupu $D$ definisane funkcije $f n (x)$ (n=1,2,3,...).

Kažemo da niz ${f n (x)}$ ravnomjerno (uniformno) na $D$ konvergira ka funkciji $f (x)$ ako za svako $ε > 0$ postoji prirodan broj $n 0 = n 0 (ε)$ koji zavisi samo od $ε$ i takav je da za svako $x\in D$ vrijedi

| f n (x) - f (x) | < ε

čim je $n\geq n_0$

[uredi] Konvergencija gotovo svuda

Ako niz ${f n (x)}$ konvergira za gotovo svako $x\in D$ , osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na $D$ .

[uredi] Konvergencija u mjeri

Za niz $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$ $μ$ - izmjerivih funkcija na prostoru mjere $(X, M,μ)$ kažemo da konvergira u mjeri $μ$ ka funkciji $f (x)$ , ako za svako $ε > 0$ vrijedi

$\mu\{x\in X : |f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon\}\longrightarrow 0$ kada $n \longrightarrow \infty$

[uredi] Konvergencija u normi

Za niz $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$ $μ$ - izmjerivih funkcija na prostoru mjere $(X, M,μ)$ kažemo da konvergira u normi $L p$ $(p\geq 1)$ ako vrijedi:

$(L)\int_{X}|f_n(x)-f(x)|^p d\mu \longrightarrow 0$ kada $n\longrightarrow\infty$

Kategorije: Matematika

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.