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賦值環 - Wikipedia

賦值環

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抽象代數中,賦值環是一個裡的一類特別子環,可由域上的某個賦值定義。離散賦值環是其中較容易操作的一類。

目录

[编辑] 定義

一個 F 的子環 R 被稱作賦值環,若且唯若對每個  x \in F^* ,必有  x \in R x^{-1} \in R

若 R 是主理想域,此時 R 被稱為離散賦值環

[编辑] 性質

  • \mathcal{M} := F - R^* ,則 \mathcal{M} 是 F 中唯一的極大理想
  • 承上,k := R/\mathcal{M} 被稱作 R 的剩餘域

[编辑] 範例

  • 令 X 為一黎曼曲面,x 為其上一點。令  R_x := \{f \in \mathbb{C}(X) : f(x) \neq \infty \},則 Rx 構成一賦值環。
  • F 為域,則 F[[X]]F((X)) 中的賦值環。
  • \mathbb{Z}_p\mathbb{Q}_p 中的賦值環。
  • (Γ, > ) 為一有序交換群K 為域,v:  K^* \rightarrow \Gamma 為一賦值,則 R_v := \{ r \in R : v(r) \geq 0\} 為一賦值環,此時v(K * )被稱作其值群。可以證明所有的賦值環都由此而來。

[编辑] 文獻

  • Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
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