米田引理

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在範疇論中，米田引理斷言一個對象 $X$ 的性質決定於它所表示的函子 $Hom(X, - )$ 或 $Hom( - , X)$ 。此引理以日本數學家暨計算機科學家米田信夫命名。

[编辑] 陳述

設 $\mathcal{C}$ 為一範疇，定義兩個函子範疇如下：

$\mathcal{C}^\wedge := \mathrm{Fct}(\mathcal{C}, \mathbf{Set})$

$\mathcal{C}^\vee := \mathrm{Fct}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set})$

並定義兩個函子：

$h_\mathcal{C}(X) = h_X := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-,X)$

$k_\mathcal{C}(X) = k_X := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,-)$

其中 $h_\mathcal{C} : C \to \mathcal{C}^\wedge$ 而 $k_\mathcal{C}: C \to \mathcal{C}^\vee$ 。

米田引理的抽象陳述如下：

米田引理 . 有自然的同構

$\forall X \in \mathcal{C}, A \in \mathcal{C}^\wedge \quad \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^\wedge}(h_X, A) \simeq A(X)$

$\forall X \in \mathcal{C}, B \in \mathcal{C}^\vee \quad \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^\vee}(B, k_X) \simeq B(X)$

這兩個同構對所有變元 $A, B, X$ 都滿足函子性。

對任一對象 $Y \in \mathcal{C}$ ，在上述同構中分別取 $A = h Y, B = k Y$ ，便得到米田引理最常見的形式：

推論 . 函子 $h_\mathcal{C} : C \to \mathcal{C}^\wedge$ 與 $k_\mathcal{C}: C \to \mathcal{C}^\vee$ 是完全忠實的。

[编辑] 應用

更多資料：可表函子

由上述推論，範疇中的對象 $X$ 由它所表示的函子 $h X$ 或 $k X$ 唯一確定（至多差一個同調），這是可表函子理論的根基所在。例如在代數幾何中，一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子，後者往往具有直觀的幾何詮釋，技術上亦較容易處理；另一方面，我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題，第一步是定義適當的「函子解」，其次再研究它可表與否。代數拓撲中的分類空間也是可表函子概念的體現。

[编辑] 文獻

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

[编辑] 外部連結

Pierre Schapira, Categories, sites, sheaves and stacks

分类: 范畴论 | 引理

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