標準分數

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在統計學中，標準分數（Standard score）(又被稱為「Z-分數」）是一種無因次值，是藉由從單一（原始）分數中減去母體的平均值，再依照母體（母集合）的標準差分割成不同的差距。

標準分數與使用在高速篩選分析中的「Z-因數」（z-factor）不同，甚至有時兩者會互相混淆。

其約化過程被稱為「標準化」（standardizing）。

標準分數可藉由以下公式求出：

$z = {X - \mu \over \sigma}$

其中

X 是需要被標準化的原始分數
σ 是母體的標準差
μ 是母體的平均值

Z值的量代表著原始分數和母體平均值之間的距離，是以標準差為單位計算。在原始分數低於平均值時Z則為負數，反之則為正數。

關鍵點是，計算Z值時需要「母體」的平均值和標準差，而不是「樣本」的平均值和標準差。因此需要了解母體的統計數據資料。

但是要確實了解母體真正的標準差往往是不切實際的，除非是在「標準化測驗」（Standardized testing）之類的情形中，整個母體都是經過測量的。在其他情況中，幾乎不可能測量母體的每一個組成單位，因此通常會使用隨機的樣本來評估標準差。例如：「有吸菸習慣的總人數」就不是經過一個一個測量而得出的。

當母體為正态分布時，其百分位数可能是由標準分數和普通表格所決定的。

[编辑] 數理統計學中的標準化

在数理统计学中，隨機變數「X」是使用理論（母體）的平均值和標準差所標準化的結果：

$Z = {X - \mu \over \sigma}$

其中 μ = E(X) 為平均值、σ² = Var(X) X的概率分布之方差

若隨機變數無法確定時，則為算术平均数：

$\bar{X}={1 \over n} \sum_{i=1}^n X_i$

因此經過標準化的結果為：

$Z={\bar{X\mu\over\sigma/\sqrt{n}}.$ }-

[编辑] 應用

在日本，標準分數常被用在計算學力測驗的「學力偏差值」，並且依此判斷進入理想大學的可能性。
在智力測驗時，用來計算「智力標準分數」，在教育的用途上，常和「智商」一起被當作參考的依據。
自1988年起，中国广东的高考实施标准分制度。但标准分有一致命弱点，若成绩有误，分数将难以修改，可以引发数千乃至上万人的分数需要修正，因为它是以名次或顺序来计分。类似个案，像词作家陈小奇怀疑分数有误，一查分数相差几十分，修正后才得以进入中山大学，不然，也只能上个中专，但很多人可能没他那么好运，因此标准分很可能会埋没一些潜在人才。有鉴于此，到2006年止，标准分正式寿终正寝，原始分制度再次启用。