子範疇
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在數學中，一個範疇 C 的子範疇是一個範疇 S ，其物件為 C 內的物件，態射為 C 內的態射，且有相同的單位態射與態射複合。直觀上來看， C 的子範疇是一個從 C 中「移去」部份物件和態射的範疇。
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[编辑] 形式定義
令 C 為一範疇。 C 的子範疇 S 給定於
- C 中物件的子類，標記為 ob(S) ，
- C 中態射的子類，標記為 hom(S) 。
使得
- 對每個在 ob(S) 內的 X 而言，單位態射 idX 會在 hom(S) 內。
- 對每個在 hom(S) 內的態射 f : X → Y 而言，源物件 X 和目標物件 Y 都會在 ob(S) 內。
- 對每對在 hom(S) 內的態射 f 和 g 而言，複合 f o g 會如其定義地在 hom(S) 內。
上述條件確定 S 本身也會是個範疇。其中存在一自然函子 I : S → C ，稱之為包含函子，單純為物件和態射的恆等函數。
一個範疇 C 的完全子範疇是一個 C 的子範疇 S ，會使得每對在 S 內的物件 X 和 Y ，
一個完全子範疇是一個包括著在 S 的物件間「所有」態射的範疇。對任一堆在 C 內的物件 A ，必存在唯一一個 C 的全子範疇，其物件為 A 內的所有物件。
[编辑] 內嵌
給定一個 C 的子範疇 S ，其包含函子 I : S → C 在物件上是忠實且單射的。此函子為完全的若且唯若 S 為一完全子範疇。
一個函子 F : B → C 被稱之為是一個內嵌若其為
- 一個忠實函子，且
- 在物件上是單射的。
等價地說， F 是一個內嵌若其在態射上為單射。一個函子 F 被稱之為完全內嵌，則是若其為一完全函子，且為一內嵌。
對任一（完全）內嵌 F : B → C 而言， F 的值域是 C 的一個（完全）子範疇 S ，且 F 可導出一個由 B 和 S 間的範疇同構。
[编辑] 子範疇類型
一個 C 的子範疇 S 被稱之為同構封閉的，若每一個在 C 內的同構 k : X → Y （ Y 在 S 內）也會屬於 S。一個同構封閉完全子範疇被稱之為是嚴格完全的。
一個 C 的子範疇是寬的，若其包括所有 C 的物件。一個寬子範疇基本上不會是完全的：一個範疇唯一的完全寬子範疇即是此一範疇本身。
一個塞爾子範疇是指一個阿貝爾範疇 C 的一非空完全子範疇 S，其中對所有在 C 內的所有短正合序列
M 會屬於 S ，若且唯若 M' 和 M'' 也屬於 S 。
[编辑] 參考資料
[编辑] 另見
- 反射子範疇
