三次方程

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三次方程是未知项次数为3的整式方程，一般形式為

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \,$ ,

其中 $a$ , $b$ , $c$ 和 $d$ ( $a \neq 0$ )是屬於一個域的數字，通常這個域為R或C。

[编辑] 历史

波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048–1123)通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了解一种三次方程的方法，也就是形如 x³ + mx = n的方程。事实上，如果我们允许m, n是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。费罗一直保守着这个秘密，直到死之前才把它告诉了他的一个学生。塔塔利亚(Tartaglia)听说了这件事并很快自己找到了一种方法。他把他的方法透露给了卡尔达诺，后者把它发表在《数学大典》（1545年）上。

卡尔达诺注意到塔塔利亚的方法有时需要他给负数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些复数的计算，但他并不真正理解它。拉斐罗·邦别利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现者。

[编辑] 三次方程解法

[编辑] 卡尔丹诺的方法

令 $K$ 為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根 $r$ ，然後把方程 $ax^3 + bx^2 + cx +d \,$ 除以 $x - r$ ，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。

在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。

解方程步驟：

把原來方程除以首項係數 $a$ ( $a \neq 0$ )，得到：

$x^3 + b'x^2 + c'x + d' = 0 \,$ ，其中 $b' = \frac {b} {a} \,$ ， $c' = \frac {c} {a} \,$ ， $d' = \frac {d} {a} \,$ 。

代換未知項 $x = z - \frac {b'} {3} \,$ ，以消去二次項。當展開 $\left ( z - \frac {b'} {3} \right )^3 \,$ ，會得到 $-b'z^2 \,$ 這項，正好抵消掉出現於 $b' \left ( z - \frac {b'} {3} \right )^2 \,$ 的項 $b'z^2 \,$ 。故得:

$z^3 + pz + q = 0 \,$ ，其中p和q是域中的數字。

$p = c' - \frac {b'^2} {3}$ ； $q = \frac {2b'^3} {27} - \frac {b'c'} {3} + d'$ 。

來一妙著：記 $z = u + v \,$ 。前一方程化為 $(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0 \,$ 。

展開： $u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + pu + pv + q = 0 \,$ 。

重組： $(u^3 + v^3 + q) + (3uv^2 + 3u^2v + pu + pv) = 0 \,$ 。

分解： $(u^3 + v^3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0 \,$ 。

因為多了一個未知項（ $u\,$ 和 $v\,$ 代替了 $z\,$ ），所以可加入一個條件，就是：

$3uv + p = 0 \,$ ，由此導出 $u^3 + v^3 + q = 0 \,$ 。

設 $U = u^3 \,$ 和 $V = v^3 \,$ 。我們有 $U + V = - q \,$ 和 $UV = -\frac {p^3} {27} \,$ 因為 $UV = (uv)^3 = (-\frac {p} {3})^3 \,$ 。所以 $U\,$ 和 $V\,$ 是輔助方程 $X^2 + qX - \frac {p^3} {27}=0\,$ 的根，這方程我們已會解出。

接下來， $u\,$ 和 $v\,$ 是 $U\,$ 和 $V\,$ 的立方根，適合 $uv = -\frac {p} {3} \,$ ， $z = u + v \,$ ，最後得出 $x = z - \frac {b'} {3} \,$ 。

在域 $\mathbb{C}$ 裡，若 $u_0\,$ 和 $v_0\,$ 是立方根，其他的立方根就是 $\omega u_0\,$ 和 $\omega^2u_0\,$ ，當然還有 $\omega v_0\,$ 和 $\omega^2v_0\,$ ，其中 $\omega = e^{\frac {2i \pi} {3}}\,$ 是單位的立方根。

因為乘積 $uv = -\frac {p} {3} \,$ 固定，所以可能的 $(u, v)\,$ 是 $(u_0, v_0)\,$ ， $(\omega u_0, \omega^2v_0)\,$ 和 $(\omega^2u_0, \omega v_0)\,$ 。因此三次方程的其他根是 $\omega u_0 + \omega^2v_0 - \frac {b'} {3} \,$ 和 $\omega^2u_0 + \omega v_0 - \frac {b'} {3} \,$ 。

[编辑] 判别式

最先嘗試解的三次方程是實係數（而且還是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根數目不一定是3。所遺漏的根都在 $\mathbb{C}$ 裡，就是 $\mathbb{R}$ 的代數閉包。其中差異出現於 $U\,$ 和 $V\,$ 的計算中取平方根時。取立方根沒有產生問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式 $Δ = p 3 / 27 + q 2 / 4,$ ：

若 $Δ > 0$ ，只有一個實根，其他兩個是共軛複根。
若 $Δ = 0$ ，有一個實重根：一個三重根或一個二重根和一個單根，都是實根。
若 $Δ < 0$ ，有三個實根。

注意到至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在 $+\infty\,$ 和 $-\infty\,$ 的極值是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號。由於多項式是連續函數，從介值定理知道它在某點的值為0。

[编辑] 第一個例子

解 $2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0 \,$ 。

我們依照上述步驟進行：

$t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \,$ （全式除以2）
設 $x = t + 1$ ，故 $t = x - 1$ ，代換： $(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0 \,$ ，再展開 $x^3 + 3x + 1 = 0 \,$ 。
$x = u + v$ ， $U = u 3$ ， $V = v 3$ 。設 $U + V = - 1$ 和 $U V = - 1$ 。 $U$ 和 $V$ 是 $X 2 + X - 1 = 0$ 的根。