İntegral

Vikipedi, özgür ansiklopedi

f(x)'in a dan b'ye kadar olan integrali, y=f(x) fonsiyonunun a ile b arasındaki alanıdır.

İntegral veya Tümlev, en genel anlamıyla bir gönderme (fonksiyon) eğrisinin altında kalan alanı anlatır (iki boyutlu alan, çok boyutlu hacimler) ya da başka bir deyişle göndermenin türevinin tersi olan bir gönderme elde edilmesini sağlar.

Konu başlıkları

1 Tanım
2 Köken
3 İntegral alma yöntemleri
- 3.1 Değişken Değiştirme
- 3.2 Kısmi İntegrasyon
4 Basit Fonksiyonların İntegrallari
5 Ayrıca bakınız
6 Kaynakça

[değiştir] Tanım

İntegral, verilen bir f(x) göndermesini türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. F(x) göndermesine f(x) göndermesinin integrali veya ilkeli denir. İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi s'nin biraz evrim geçirmiş hali olan ∫ işareti ile gösterilir. Bu gösterim Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

$F(x) = \int f(x)+ c,$

c bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen f(x) göndermesinin altında kalan a < x < b aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

$S = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x_{i} = \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f(x) göndermesinin integrali F(x) bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann'dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali geliştirilmiştir.

[değiştir] Köken

Dilimize İngilizceden veya Fransızcadan geçmiş integral sözcüğü "bütüne ait olan" anlamına gelir ve İngilizceye Orta Fransızca intégral sözcüğünden; Orta Latince integralis (tüm yapmak, tümlemek) sözcüğünden; Latince integer (tüm, bütün, tam) sözcüğünden gelmiştir. Ayrıca integer sözcüğü tam sayı terimine karşılık olarak İngilizceye geçmiştir^[1].

Türkçede tümlev sözcüğü, Osmanlıca mütemmem ile tamamî sözcüklerinin ve İngilizcedeki integral sözcüğünün anlamını karşılamak için türetilmiştir^[2]. tümlev sözcüğü, "tümlenmiş şey" anlamına gelir. İsimden fiil yapan /-ev,-av/ yapım ekiyle kullanımda olan tümle[mek] fiilinden; isimden fiil yapan /-le[mek]/ yapım ekiyle muhtemelen Öz Türkçe *tüm (bknz. tümen) kökünden türetilmiştir.

Osmanlıcada mütemmem sözcüğü kullanılmış (Arapçadaki *tm (tam) kökünden gelir) ancak Arapçada şu anda "olgun, evrimleşmiş, bütünleşmiş" anlamındaki tekâmül [3] sözcüğü kullanılmaktadır(kâmil, mükemmel, küme ile aynı kökten: *kml)^[3].

[değiştir] İntegral alma yöntemleri

[değiştir] Değişken Değiştirme

Bir integral, değişkeni ve diferansiyeli başka bir fonksiyonla değiştirilerek hesaplanabilir.

$\int f(x)~dx = \int f(u)~du$

Örneğin, $\int x\sqrt{x^2-1}~dx$ integralini hesaplamak için bir değiştirme uygulanabilir.

$u = x^2 - 1~$

İki tarafın da diferansiyeli alınırsa,

$du = 2x~dx$

$x~dx = \frac{1}{2}du$

$\int e^{(x^x)} dx=?$

Artık integralde $x^2 - 1~$ yerine $u~$ , $x~dx$ yerine de $\frac{1}{2}~du$ konulabilir.

$\int \frac{1}{2}\sqrt{u}~du$

$\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}$

En başta uygulanan $u = x^2 - 1~$ değişimi geri alınırsa,

$\frac{1}{3}(x^2 - 1)^{\frac{3}{2}}$ elde edilir.

[değiştir] Kısmi İntegrasyon

Bütün olarak integralinin alınması mümkün olmayan fonksiyonların uygun parçalara ayrılarak integralinin alınmasıdır

[değiştir] Basit Fonksiyonların İntegrallari

[değiştir] Rasyonel Fonksiyonlar

$\int dx = x + C$

$\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1$

$\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C$

[değiştir] İrrasyonel Fonksiyonlar

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C$

$\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C$

[değiştir] Logaritmik Fonksiyonlar

Ayrıştırılamadı (lexing hatası): \int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x\ C

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

[değiştir] Üslü Fonksiyonlar

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

[değiştir] Trigonometrik Fonksyionlar

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

[değiştir] Hiperbolik Fonksiyonlar

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C$

$\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C$

[değiştir] Ters Hiperbolik Fonksiyonlar

$\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C$

$\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C$

$\int \operatorname{arctanh} x \, dx = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C$

$\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C$

$\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C$

$\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C$

[değiştir] Ayrıca bakınız

Temel göndermelerin integralleri için İntegral Tablosu
Belirli integral
Belirsiz integral
Karmaşık integral
İntegral teoremleri

[değiştir] Kaynakça

^ Douglas Harper, Online Etymology Dictionary, sözcük: [1]
^ Türk Dil Kurumu, Bilim ve Sanat Terimleri Ana Sözlüğü, sözcük: [2]
^ Mustafa Nihat Özön, Osmanlıca - Türkçe Sözlük, İnkılâp ve Aka kitabevleri, 4. basım, Ocak 1965

Matematik ile ilgili bu madde bir taslaktır. İçeriğini geliştirerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

Sayfa kategorileri: Matematik taslakları | Matematiksel analiz

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.