รูปสามเหลี่ยม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

รูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม (Triangle) คือ หนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต เป็นรูป 2 มิติ ที่ประกอบด้วยจุดยอด 3 จุดและด้าน 3 ด้านที่เป็นส่วนของเส้นตรง

เนื้อหา

1 ประเภทของรูปสามเหลี่ยม
2 ข้อเท็จจริงพื้นฐาน
3 จุด, เส้น และวงกลมที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม
4 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
5 รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ
6 ดูเพิ่ม
7 แหล่งข้อมูลอื่น

[แก้] ประเภทของรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมแบ่งชนิดตามความยาวของด้านได้ดังนี้

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60°
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในในรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าจะมีขนาดเแตกต่างกัน


รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า	รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว	รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

รูปสามเหลี่ยมแบ่งชนิดตามขนาดของมุมภายในที่ใหญ่ที่สุด อธิบายด้วยองศา

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูปเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม


รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก	รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน	รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
	$\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}$ รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง

[แก้] ข้อเท็จจริงพื้นฐาน

ยุคลิดได้แสดงข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมไว้ในหนังสือ Elements เล่ม 1-4 เมื่อราวๆ 300 ปีก่อนคริสตกาล

รูปสามเหลี่ยมเป็น รูปหลายเหลี่ยม และเป็น 2-ซิมเพล็กซ์ (2-simplex)

รูปสามเหลี่ยม 2 รูป จะเรียกว่าคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ มุมของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ด้านที่สมนัยกันจะเป็นสัดส่วนกัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยม 2 รูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ และ โคไซน์ สามารถนิยามขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและเรื่องความคล้ายกันได้ ฟังชันก์เหล่านี้เป็นฟังก์ชันของมุม ซึ่งดูได้ในตรีโกณมิติ

รูปสามเหลี่ยมที่ประกอบด้วย จุดยอด, ด้าน และมุมที่กำกับสัญลักษณ์

พิจารณา รูปสามเหลี่ยมที่ประกอบด้วยจุดยอด A, B และ C, มุม α, β และ γ และด้าน a, b และ c ด้าน a อยู่ตรงข้ามกับ จุดยอด A และมุม α และทำนองเดียวกับด้านอื่นๆ

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ผลรวมของมุม α + β + γ จะเท่ากับสองมุมฉาก (180° หรือ π เรเดียน) ซึ่งทำให้เรารู้ขนาดของมุมที่สามได้ เมื่อรู้ขนาดของมุมเพียง 2 มุม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับ ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้านที่เหลือ ถ้าจุดยอด C เป็นมุมฉาก จะได้ว่า

$c^2 = a^2 + b^2\,$

นั่นหมายความว่า ถ้ารู้ความยาวของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ก็เพียงพอที่จะคำนวณด้านที่สาม ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถทำให้อยู่ในรูปทั่วไปโดยกฎโคไซน์ (law of cosines) ได้ว่า

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma\,$

ซึ่งใช้ได้กับทุกรูปสามเหลี่ยม แม้ว่า γ จะไม่เป็นมุมฉาก กฎโคไซน์ใช้คำนวณความยาวของด้านและขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสองที่อยู่ติดกับมุมที่รู้ขนาด

กฎไซน์ (law of sines) กล่าวว่า

$\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1d$

เมื่อ d คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อม (วงกลมที่เล็กที่สุด ที่สามารถบรรจุรูปสามเหลี่ยมไว้ภายในได้พอดี) กฎไซน์ใช้คำนวณความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ขนาดของมุม 2 มุมและด้าน 1 ด้าน ถ้ารู้ความยาวของด้าน 2 ด้านและขนาดของมุมที่ไม่อยู่ติดกัน กฎไซน์ก็สามารถใช้ได้เช่นเดียวกัน อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้อาจมีไม่มีคำตอบ หรืออาจมี 1 หรือ 2 คำตอบ

[แก้] จุด, เส้น และวงกลมที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม

ศูนย์กลางวงล้อม คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน และตั้งฉากกับด้านนั้น นั่นคือ ทำมุมฉากกับด้านนั้น เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียว คือ ศูนย์กลางวงล้อม (circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อม (circumcircle) ซึ่งเป็นวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสาม เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมสามารถหาได้จากกฎไซน์ที่กล่าวไปในข้างต้น

ทฤษฎีบทของธาลีส (Thales' theorem) กล่าวว่า ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้ว มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน

จุดตัดของส่วนสูงคือ จุดออร์โทเซนเตอร์

ส่วนสูง (altitude) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก(ทำมุมฉาก)กับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่าฐาน (base) ของส่วนสูง และจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ขยายออกมา)นั้นเรียกว่า เท้า (foot) ของส่วนสูง ความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอด ส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว เรียกจุดนั้นว่า จุดออร์โทเซนเตอร์(orthocenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดออร์โทเซนเตอร์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก (orthocentric system)

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุม ใช้หาจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน

เส้นแบ่งครึ่งมุม (angle bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน (incircle) ของรูปสามเหลี่ยม วงกลมแนบในคือวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม และสัมผัสด้านทั้งสาม มีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือ วงกลมแนบนอก (excircle) คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสอง จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก

เซนทรอยด์ เป็นศูนย์ถ่วง

เส้นมัธยฐาน (median) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากัน เส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ เซนทรอยด์ (centroid) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้จะเป็นศูนย์ถ่วง (center of gravity) ของรูปสามเหลี่ยมด้วย ถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยด์ของมันหรือเส้นใดๆที่ลากผ่านเซนทรอยด์ เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วน 2:1 นั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์ จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

วงกลมเก้าจุด แสดงความสมมาตรที่จุดหกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกัน

จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม และเท้าของส่วนสูงทั้งสาม จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน คือ วงกลมเก้าจุด (nine point circle) ของรูปสามเหลี่ยม อีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับจุดออร์โทเซนเตอร์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนสูง รัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อม มันจะสัมผัสวงกลมแนบใน (ที่จุด Feuerbach) และสัมผัสวงกลมแนบนอก

เส้นออยเลอร์ คือเส้นที่ลากผ่าน เซนทรอยด์ (สีเหลือง), จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน), ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง)

เซนทรอยด์ (สีเหลือง), จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน), ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (จุดสีแดง) ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกัน ที่เรียกว่า เส้นออยเลอร์ (Euler's line) (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับศูนย์กลางวงล้อม ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์

จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์

ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกัน เรียกว่า symmedian symmedianทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุด symmedian (symmedian point) ของรูปสามเหลี่ยม

[แก้] การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

การคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่พบเจอเป็นประจำในสถานการณ์ต่างๆ มีหลายวิธีที่จะหาคำตอบ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมบ้าง วิธีเหล่านี้เป็นสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใช้กันบ่อยๆ

[แก้] ใช้เรขาคณิต

พื้นที่ S ของรูปสามเหลี่ยม คือ S = ½bh เมื่อ b คือความยาวของด้านใดๆในรูปสามเหลี่ยม (ฐาน) และ h (ส่วนสูง) คือระยะทางตั้งฉากระหว่างฐานกับจุดยอดที่ไม่ใช่ฐาน วิธีนี้แสดงให้เห็นได้ด้วยการสร้างรูปทางเรขาคณิต

เปลี่ยนรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มีพื้นที่เป็นสองเท่าของรูปสามเหลี่ยม จากนั้นเปลี่ยนเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ (สีเขียว) ขั้นแรก นำรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน หมุนไป 180° และวางมันบนด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นตัดส่วนหนึ่งของรูปและนำไปวางบนอีกด้านหนึ่ง เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ bh ฉะนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้จึงเท่ากับ ½bh

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับ ผลคูณไขว้ของสองเวกเตอร์

[แก้] ใช้เวกเตอร์

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือ S = ½|AB × AC|

ใช้ตรีโกณมิติหาส่วนสูง h

[แก้] ใช้ตรีโกณมิติ

ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วยตรีโกณมิติ จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ h = a sin γ นำไปแทนในสูตร S = ½bh ที่ได้จากข้างต้น จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ S = ½ab sin γ

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงเท่ากับ ab sin γ

[แก้] ใช้พิกัด

ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และกำหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ B = (x₁, y₁) และ C = (x₂, y₂) แล้วพื้นที่ S จะคำนวณได้จาก 1/2 เท่าของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์

$\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}$

หรือ S = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|

[แก้] ใช้สูตรของเฮรอน

อีกวิธีที่ใช้คำนวณ S ได้คือใช้สูตรเฮรอน

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

เมื่อ s = ½ (a + b + c) คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม

[แก้] ใช้ความยาวด้านและสูตรที่เสถียรเชิงตัวเลข

สูตรเฮรอนนั้นไม่เสถียรเชิงตัวเลขสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขนาดเล็กมากๆ วิธีที่ดีกว่าคือ เรียงความยาวของด้านตามนี้ a ≥ b ≥ c และคำนวณจาก

$S = 1/4\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}$

วงเล็บในสูตรนั้น จำเป็นต้องใส่ตามลำดับเพื่อป้องกันความไม่เสถียรเชิงตัวเลขในการหาค่า

[แก้] รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ

ถ้ามีส่วนประกอบของรูปสามเหลี่ยม (จุดยอด หรือด้าน) 4 ส่วน อยู่บนระนาบเดียวกันแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะอยู่บนระนาบเดียวกัน นักเรขาคณิตได้ศึกษารูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบด้วย ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมในเรขาคณิตทรงกลม และ รูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลาในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา

[แก้] ดูเพิ่ม

เรขาคณิตสังเคราะห์
อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ซิมเพล็กซ์

[แก้] แหล่งข้อมูลอื่น

Triangle Calculator - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
Napoleon's theorem A triangle with three equilateral triangles. A purely geometric proof. It uses the Fermat point to prove Napoleon's theorem without transformations by Antonio Gutierrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas"
William Kahan: Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle.
Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 1600 interesting points associated with any triangle.
Christian Obrecht: Eukleides. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
Triangle constructions, remarkable points and lines, and metric relations in a triangle. From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
Printable Worksheet on Types of Triangles

ด • พ • ก รูปหลายเหลี่ยมต่าง ๆ
หนึ่งเหลี่ยม • สองเหลี่ยม • สามเหลี่ยม • สี่เหลี่ยม • ห้าเหลี่ยม • หกเหลี่ยม • เจ็ดเหลี่ยม • แปดเหลี่ยม • เก้าเหลี่ยม • สิบเหลี่ยม • สิบเอ็ดเหลี่ยม • สิบสองเหลี่ยม
สิบสามเหลี่ยม • สิบสี่เหลี่ยม • สิบห้าเหลี่ยม • สิบหกเหลี่ยม • สิบเจ็ดเหลี่ยม • สิบแปดเหลี่ยม • สิบเก้าเหลี่ยม • ยี่สิบเหลี่ยม • สามสิบเหลี่ยม • ห้าสิบเหลี่ยม
ร้อยเหลี่ยม • พันเหลี่ยม • หมื่นเหลี่ยม

หมวดหมู่: บทความที่รอการตรวจสอบรูปแบบ | รูปหลายเหลี่ยม | รูปสามเหลี่ยม

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

รูปสามเหลี่ยม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เนื้อหา

[แก้] ประเภทของรูปสามเหลี่ยม

[แก้] ข้อเท็จจริงพื้นฐาน

[แก้] จุด, เส้น และวงกลมที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม

[แก้] การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

[แก้] ใช้เรขาคณิต

[แก้] ใช้เวกเตอร์

[แก้] ใช้ตรีโกณมิติ

[แก้] ใช้พิกัด

[แก้] ใช้สูตรของเฮรอน

[แก้] ใช้ความยาวด้านและสูตรที่เสถียรเชิงตัวเลข

[แก้] รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ

[แก้] ดูเพิ่ม

[แก้] แหล่งข้อมูลอื่น

Views

ป้ายบอกทาง

มีส่วนร่วม

ค้นหา

ภาษาอื่น