Wienov zakon

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Valovna dolžina, ki odgovarja vrhu sevanja za različne spektre črnih teles, kot funkcija temperature

Hladnejša žarnica oddaja rdečo svetlobo, toplejša pa belo

Wienov zákon [vínov ~] (tudi Wienov zakon o premiku) je v fiziki zakon, po katerem je zmnožek valovne dolžine $λ 0$ vrha spektralne gostote sevanja črnega telesa in njegove absolutne temperature $T$ konstanten:

$\lambda_{0} T = k_{W,\lambda} \!\, .$

Sorazmernostna fizikalna konstanta:

$k_{W,\lambda} = 2,897 \, 768 \, 5(51) \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m \, K} \!\,$

je Wienova konstanta. V tej obliki konstanto označujejo tudi z $b\,$ . Valovna dolžina vrha se zmanjšuje z naraščanjem temperature.

Za optične valovne dolžine je za enoto večkrat pripravno uporabljati nanometre namesto metrov. V tem primeru je konstanta enaka:

$k_{W,\lambda} = 2,897 \, 768 \, 5(51) \cdot 10^{6} \ \mathrm{nm \, K} \!\, .$

Vsebina

1 Razlaga in vsakdanji zgledi uporabe
2 Frekvenčna oblika
3 Izpeljava
- 3.1 Oblika za valovne dolžine
- 3.2 Oblika za frekvence
4 Lastnosti
5 Opombe
6 Viri
7 Zunanje povezave

[uredi] Razlaga in vsakdanji zgledi uporabe

Wilhelm Wien

Zakon je leta 1893 odkril Wilhelm Wien na podlagi termodinamskih privzetkov. Obravnaval je adiabatno razširjanje votline, ki je vsebovala svetlobno valovanje v toplotnem ravnovesju. Pokazal je da se pri adiabatnem razširjanju ali zoževanju energija svetlobe spreminja na enak način kot frekvenca. To pomeni, da se frekvenca vrha spremeni s temperaturo. Wien ni obravnaval svoje konstante $k W$ kot novo osnovno konstanto narave. To je storil Planck. Za svoja odkritja v zvezi s sevalnimi zakoni toplote je Wien leta 1911 prejel Nobelovo nagarado za fiziko.

Po Wienovem zakonu je za toplejše telo valovna dolžina, pri kateri bo oddalo večino svojega sevanja, manjša. Največjo frekvenco dobimo, če delimo Wienovo konstanto z absolutno temperaturo.

[uredi] Svetloba s Sonca in Lune

Površinska temperatura, oziroma natančeneje efektivna temperatura, Sonca je 5775,9 K. Po Wienovem zakonu ta temperatura odgovarja vrhu izseva pri valovni dolžini:

$\lambda_{0} = \frac{2,8977685 \cdot 10^{6}} {5777,9} = 501,5 \ \mathrm{nm} \!\, .$

Ta valovna dolžina ne sovpada slučajno z najbolj občutljim delom vidne spektralne ostrine kopenskih živali. Tudi nočne živali in živali, ki lovijo v poltemi, zaznavajo svetlobo iz večerne svetlobe in z Lune, ki je odbita sončna svetloba z enako porazdelitvijo valovne dolžine. Tudi srednja valovna dolžina največje moči svetlobe zvezd leži v tem obsegu, saj je Sonce v sredini običajnega temperaturnega obsega zvezd.

V članku o barvi je opisan razpon, ki da belo svetlobo. Zaradi Rayleighovega sipanja modre svetlobe v ozračju se ta bela svetloba razdvoji, kar povzroči, da je nebo modro, Sonce pa rumeno.

Wienovo konstanto lahko uporabimo vc različnih enotah.

[uredi] Svetloba iz razžarjenih žarnic in plamenov

Žarnica ima žarečo nitko z nekoliko nižjo temepraturo, ki da rumeno svetlobo. Kar je »vroče rdeče«, ima spet nižjo temperaturo. Ni težko izračunati, da ima lesni ogenj pri 1500 K vrh sevanja pri valovni dolžini:

$\lambda_{0} = \frac{3 \cdot 10^{6}} {1500} = 2000 \ \mathrm{nm} \!\, ,$

ki se nahaja v infrardečem delu spektra, in ne v vidnem, ki sega nekako do 750 nm.

[uredi] Sevanje sesalcev in živega človeškega telesa

Sesalci pri približno 300 K sevajo pri 3 tisoč μm K / 300 K = 10 μm - zelo daleč v infrardečem delu. To je obseg infrardečih valovnih dolžin, ki ga zaznajo gadi ali pasivne IR-kamere.

[uredi] Valovna dolžina sevanja prapoka

Wienov zakon velja tudi za sevanje črnega telesa, ki izhaja iz prapoka. Če je Wienova konstanta približno 3 mm K in temperatura sevanja kozmičnega ozadja prapoka približno 3 K (oziroma 2,7 K), je razvidno, da je vrh mikrovalovnega ozadja neba pri 2,9 mm K / 2,7 K = malo nad 1 mm v mikrovalovnem delu. Zato mora biti mikrovalovna oprema za merjenje kozmičnega mikrovalovnega sevanja ozadja občutljiva na obeh straneh tega frekvenčnega obsega.

[uredi] Vrhovi svetlobnega toka črnih teles

Razpredelnica podaja vrhove izsevanega svetlobnega toka nekaterih idealiziranih črnih teles, oziroma stanj.

$T$ [ K ]	$\vartheta$ [ °C ]	telo/stanje	$λ 0$ [ nm ]
0,0648	-272,935	svetlobni tok, ki ga še zazna človeško oko	4,472 · 10⁷
2,7	-270,45	kozmično mikrovalovno prasevanje ozadja	1,073 · 10⁶
14,01	-259,14	tališče vezanega vodika	206.835,725
184	-89	najnižja izmerjena temperatura na Zemlji (1983)	15.748,742
273,15	0	led	10.608,708
288	15	povprečna temperatura na Zemlji	10.061,696
298	25	sobna temperatura	9724,055
309,8	36,8	povprečna temperatura človeškega telesa	9353,675
331	58	najvišja izmerjena temperatura na Zemlji (1922)	8754,588
394	121	Sončev izsev na robu ozračja	7354,742
503	230	vroče varilno jeklo	5760,971
773	500	vroča grelna naprava	3748,730
1273	1000	rumeni plamen	2276,330
1941	1668	staljeni titan	1492,926
2041,4	1768,4	staljena platina	1419,501
2773	2500	žička svetilke	1044,994
5776		Sončeva površina	501,5
25.000		srednja temperatura Vesolja 10.000 let po prapoku	115,911
15,7 · 10⁶		Sončevo jedro	0,185
10 · 10⁹		izbruh supernove	2,898 · 10^-4
140 · 10³⁰		* Planckova temperatura mikročrne luknje * temperatura Vesolja 500 · 10^-42 s po prapoku	2,070 · 10^-26

[uredi] Frekvenčna oblika

S frekvenco $\nu \,$ ima Wienov zakon obliko:

$\frac{\nu_{0}}{T} = \frac{x k_{B}}{h} = k_{W,\nu} \!\, ,$

kjer je Wienova konstanta:

$k_{W,\nu} = 5,878 \, 933(10) \cdot 10^{10} \ \mathrm{ s^{-1} \, K^{-1}}\!\,$

in $x \approx 2,821439...$ konstanta, ki izhaja iz numerične rešitve enačbe za maksimum, $k_{B}\,$ Boltzmannova konstanta, h Planckova konstanta in T absolutna temperatura. V tej obliki konstanto označujejo tudi z $b'\,$ .

[uredi] Izpeljava

Wien je prvič izpeljal zakon leta 1893 s pomočjo zakonov termodinamike za elektromagnetno valovanje^[1]. Kot je značilno za termodinamske privzetke, Wienova izpeljava določa funkcionalno obliko povezav, ne določa pa vrednosti Wienove konstante za valovne dolžine in frekvence. Danes običajno izpeljemo zakon iz Planckovega zakona za sevanje črnega telesa, saj na ta način da račun tudi izraza za Wienovi konstanti, izraženi z osnovnimi konstantami.

[uredi] Oblika za valovne dolžine

Spektralna gostota črnega telesa je po Planckovem zakonu enaka:

$u(\lambda,T) = \frac{2\pi h c}{\lambda^{5}} \frac{1}{e^{h c/(k_{B}T \lambda)}-1} \!\, .$

Iščemo vrednost za $λ$ , kjer ima funkcija maksimum. Odvajamo funkcijo $u (λ, T)$ po $λ$ in enačimo z 0:

$\frac{ \partial u}{\partial \lambda } = 8\pi h c \left( \frac{hc}{k_{B}T \lambda^{7}} \frac{e^{h c/(k_{B}T \lambda)}} {\left(e^{h c/(k_{B}T \lambda )}-1\right)^2} - \frac{1} {\lambda^{6}} \frac{5} {e^{h c/(k_{B}T \lambda)}-1} \right) = 0 \!\, .$

Po urejanju dobimo:

$\frac{hc}{k_{B}T \lambda} \frac{1}{1-e^{-h c/(k_{B}T \lambda)}} - 5 = 0 \!\, .$

Če uvedemo novo spremenljivko:

$x = \frac{hc}{k_{B}T \lambda } \!\, ,$

dobimo:

$\frac{x}{1-e^{-x}} - 5 = 0 \!\, .$

Enačbo ne moremo rešiti na elementaren način. Rešimo jo s pomočjo Lambertove funkcije W. Rešitev je:

$x = 5 + W\left( \frac{-5}{e^{5}}\right) = 4,965114231744276 \ldots \!\, .$

Wienov zakon ima tako obliko:

$\lambda_{0} T = \frac{hc}{x k_{B}} = 0,20140525\ldots \frac{hc}{k_{B}} = 2,89776829\ldots \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m \, K}$ .

[uredi] Oblika za frekvence

Podobno dobimo frekvenčno obliko iz Planckovega zakona za frekvence:

$u(\nu,T) = \frac{2\pi h \nu^{3}}{c^{2}} \frac{1}{e^{h\nu/(k_{B}T)}-1} \!\, .$

Odvajamo funkcijo $u (ν, T)$ po $ν$ in enačimo z 0:

$\frac{ \partial u}{\partial \nu } = \frac{2\pi h}{c^{2}} \left( \frac{3\nu} {e^{h \nu/(k_{B}T)}-1} - \frac{h\nu^{2}}{k_{B}T} \frac{e^{h \nu/(k_{B}T)}} {\left(e^{h \nu/(k_{B}T)}-1\right)^2} \right) = 0 \!\, .$

Če uredimo, dobimo:

$3 - \frac{h\nu}{k_{B}T}\frac{1}{1-e^{-h\nu/(k_{B}T)}} = 0 \!\,$

in uvedemo novo spremenljivko:

$x = \frac{h\nu}{k_{B}T} \!\, ,$

kar da:

$3 - \frac{x}{1-e^{-x}} = 0 \!\, .$

Rešitev je podobna:

$x = 3 + W\left( \frac{-3}{e^{3}}\right) = 2,821439372122079 \ldots \!\, ,$

Wienov zakon pa ima obliko:

$\frac{\nu_0}{T} = \frac{x k_{B}}{h} = 5,87893280\ldots \cdot 10^{10} \ \mathrm{s^{-1} \, K^{-1}} \!\, .$

[uredi] Lastnosti

Graf funkcije $\frac{x + W\left( -x/e^{x}\right)}{y + W\left( -y/e^{y}\right)}$ . Pri

x = 5

y = 3

je vrednost funkcije $1,759780586 \ldots$

Ker ima spekter v Planckovem zakonu različno obliko za frekvenco in valovno dolžino, frekvenčni vrhovi ne ustrezajo vrhovom valovnih dolžin s preprosto zvezo med frekvenco, valovno dolžino in hitrostjo svetlobe:

$c = \lambda \nu \!\, .$

Tako velja:

$\frac {c}{\lambda_{0} \nu_{0}} > 1 \!\,$

in:

$\begin{align} \frac {c}{\lambda_{0} \nu_{0}} & = \frac{c}{k_{W,\lambda} \, k_{W,\nu}} = \frac{5 + W\left( -5/e^{5}\right)}{3 + W\left(-3/e^{3}\right)} \\ & = 1,759780586 \ldots \!\, . \\ \end{align}$