Transcendentno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Transcendéntno števílo je vsako kompleksno število, ki ni algebrsko, oziroma ni rešitev nobene polinomske enačbe oblike:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x¹ + a₀ = 0

kjer je n ≥ 1 in so koeficienti a_i cela števila (ali enakovredno racionalna števila), ne vsa enaka 0.

Množica algebrajskih števil je števna, medtem ko je množica vseh realnih števil neštevna. To nakazuje, da je tudi množica vseh transcendentnih števil neštevna tako, da je v resnici veliko več transcendentnih števil kot pa algebrskih. Vseeno pa poznamo le nekaj razredov transcendentnih števil in je dokazovanje ali je dano število transcendentno skrajno težko. Tudi druga lastnost normalnosti nekega števila lahko pomaga določiti ali je transcendentno.

Obstoj transcendentnih števil je prvi dokazal leta 1844 Joseph Liouville, ki je predložil zglede kot je Liouvillova konstanta:

kjer je n števka za decimalno vejico 1, če je n fakulteta (na primer 1, 2, 6, 24, 120, 720 itn.), drugače pa 0. Prvo število, za katerega je leta 1873 Charles Hermite dokazal da je transcendentno, brez da bi ga posebej konstruiral, je bilo število e. Leta 1882 je Ferdinand von Lindemann objavil dokaz, da je število π transcendentno. Leta 1874 je Georg Ferdinand Cantor našel zgoraj opisan dokaz o neskončnosti transcendentnih števil.

Pomoč pri dokazovanju transdendentnosti števil nam nudi Lindemann-Weierstrassov izrek.

Nekaj števil, za katera vemo, da so transcendentna:

• e^a če je a algebrsko in ni enako 0,
• π,
• e^π,
• 2^√2 ali splošneje a^b kjer je a ≠ 0,1 algebrski in b algebrski vendar ne racionalen. Splošen primer 7. Hilbertovega problema o določitvi ali je a^b transcendenten, kadar je a ≠ 0,1 algebrajski in b iracionalen ostaja nerešen,
• sin(1),
• ln(a) če je a pozitiven, racionalen in ≠ 1,
• Γ(1/3) in Γ(1/4) (glej funkcija Γ).
• Ω, Chaitinova konstanta.
• kjer je največje celo število manjše ali enako β. Na primer, če je β = 2, je to število 0,1010001000000010000000000000001000...
• Thue-Morsejeva konstanta P (od leta 1977).

Odkritje transcendentnih števil je omogočilo dokaz nemožnosti nekaj starodavnih geometrijskih problemov, kot so konstrukcije z ravnilom in šestilom. Najbolj znamenit med njimi, kvadratura kroga je nemogoč, ker je π transcendentno število.