Harmonična vrsta
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Harmónična vŕsta je v matematiki neskončna vrsta:
Tako se imenuje, ker so valovne dolžine delnih tonov nihajoče strune sorazmerne z 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... .
Vrsta divergira, sicer počasi, k neskončnosti (vsota prvih 1043 členov je manj kot 100). To se lahko lepo pokaže z dejstvom, da je harmonična vrsta po členih večja ali enaka z vrsto:
![\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right]
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots](../../../../math/2/7/5/2758cb036aea30bab92c923077153e27.png)
ki očitno divergira. Ta dokaz je podal Nicole Oresme in predstavlja enega od viškov srednjeveške matematike. Celo vsota obratnih vrednosti praštevil divergira k neskončnosti, čeprav je to težje dokazati.
Harmonična sredina pozitivnih števil a in b je definirana kot H(a, b) = 2/(1/a + 1/b). Zanjo velja max{a, b} ≥ H(a, b) ≥ min{a, b} z enakostjo natanko tedaj, ko je a = b.
(Splošno je harmonična sredina definirana tudi za več števil a1, a2, ... an in sicer H(a1, a2, ... an)= n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an).)
Harmonično zaporedje števil x1, x2, ... je zaporedje, v katerem za vsak n > 1 velja xn = H(xn-1, xn+1).
Harmonična vrsta pa je vsota harmoničnega zaporedja (vsota členov harmoničnega zaporedja).
 |
Ta matematični članek je škrbina. Pomagaj Wikipediji in ga razširi. |
