Vreme poluraspada

From Wikipedia

Za ostala značenja v. Vreme poluraspada (razvrstavanje).

Vreme polu-raspada (eng. half-life) supstance je vreme za koje raspadne polovina početnog broja jezgara.

Posle # polu-raspada	Procenat preostale količine
0	100%
1	50%
2	25%
3	12.5%
4	6.25%
5	3.125%
6	1.5625%
7	0.78125%
...	...
N	$\frac{100%}{2^N}$
...	...

Tabela desno pokazuje smanjenje količine u vezi sa brojem pređenih polu-raspada.

Radioaktivni raspad je slučajan proces u kojem verovatnoća da će se jedno jezgro raspasti ne zavisi od toga koliko se jezgara već raspalo i koliko će ih se tek raspasti. To znači da je verovatnoća raspada $λ$ , konstanta koja ne zavisi ni od vremena, t, ni od broja neraspadnutih jezgara, N. To je odlika procesa prvog reda i tada je broj jezgara koja se raspadnu u jedinici vremena $\frac{dN}{dt}$ jednak proizvodu verovatnoće da do raspada dođe i broja prisutnih jezgara, N:

$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$

Minus u gornjoj jednačini označava da broj jezgara tokom vremena opada, tj., brzina je negativna.

Preuređenjem dobija se diferencijalna jednačina prvog reda:

$\frac{dN}{N} = -\lambda dt.$

čijim rešavanjem (integraljenjem)

$\ln N = -\lambda t + D \,$

nalazimo

$N = Ce^{-\lambda t} \,$

gde se numerička konstanta $C = e D .$ određuje iz početnog uslova da je pri t = 0 broj jezgara $N 0$ :

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \,$ .

OVde je:

$N 0$ početna vrednost N-a (na t=0)
λ pozitivna konstanta (konstanta raspada) koja označava kolika je verovatnoća da se izvesno jezgro raspadne u jedinici vremena.

Kada t teži beskonačnosti, broj jezgara koja se još nisu raspala približava se nuli. To je, recimo objašnjenje zašto na Zemlji nema prirodnih radioaktivnih izotopa sa vremenom poluraspada kraćim od 4,5 milijardi godina. Naime, procenjuje se da je to starost Zemlje i sva jezgra koja su imala kraće vreme poluraspada već su se odavno raspala t.j. za njih je N = 0.

Konkretno, postoji vreme $t_{1/2} \,$ takvo da:

$N(t_{1/2}) = N_0\cdot\frac{1}{2}$

Smenjujući u formulu iznad, dobijamo:

$N_0\cdot\frac{1}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \,$

$e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2} \,$

$- \lambda t_{1/2} = \ln \frac{1}{2} = - \ln{2} \,$

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \,$

Tako da je vreme polu-raspada jednako 69.3% prosečnog životnog veka.

Starost Zemlje se procenjuje na 4,5 milijardi godina upravo na osnovu vremena poluraspada uranijuma-238, prirodnog radioaktivnog izotopa, koje iznosi 4,468 milijardi godina.