Степенной ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,$

в котором коэффициенты a_n берутся из некоторого кольца R. Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из R обозначается $R [[X]]$ . В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования и суперпозиции. Пусть

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nX^n, G(X) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty}b_nX^n, H(X) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_nX^n.$

Тогда:

$H = F + G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = a_n + b_n$

$H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l$

$H = F \circ G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s}$ (при этом необходимо должно быть b₀=0)

$H = F' \Leftrightarrow \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}$

Пространство $R [[X]]$ имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом R (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо R). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

Степенной ряд от n переменныx — это формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$

или, в мультииндексных обозначениях,

$F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha},$

где X — это вектор X = (X₁, X₂, … , X_n), $α$ — мультииндекс $\alpha = (k_1, k_2, \dots, k_n)$ , $X α$ — одночлен $X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$ . Пространство степенных рядов от n переменных и коэффициентами из R обозначается $R[[X_1,X_2,\dots,X_n]]$ . В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и n-местной суперпозиции. Пусть

$F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, G(X) = \sum\limits_{\alpha} b_{\alpha}X^{\alpha}, H(X) = \sum\limits_{\alpha}c_{\alpha}X^{\alpha}.$

Тогда:

$H = F + G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = a_{\alpha} + b_{\alpha}$

$H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = \sum\limits_{\beta+\gamma=\alpha} a_{\beta} b_{\gamma}$

$H = {\partial F \over \partial X_i} \Leftrightarrow \forall (k_1, k_2, \dots, k_n) \, c_{k_1, k_2, \dots, k_n} = (k_i+1)a_{(k_1, k_2, \dots, k_i+1, \dots, k_n)}$

Про пространство $R[[X_1,X_2,\dots,X_n]]$ можно сказать практически то же самое, что и про $R [[X]]$ . ^{[источник?]}

[править] Суммирование степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной X какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме). Если вдобавок члены ряда зависят от какого-нибудь параметра X, принимающего значения во множестве M, возникает понятие сходимости, равномерной по параметру X: ряд сходится равномерно по X (на множестве M), если он сходится при всех значениях параметра X из множества M, и существует оценка расхождения частичной суммы ряда с его полной суммой, НЕ ЗАВИСЯЩАЯ от X и сходящаяся к нулю.

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд $\Sigma \,a_n z^n$ сходится в точке z₀. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге {|z|<|z₀|} и равномерно по z на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при z=z₀, он расходится при всех z, таких что |z|>|z₀|. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R (возможно, нулевой или бесконечный), что при |z|<R ряд сходится абсолютно (и равномерно по z на компактных подмножествах круга {|z|<R}), а при |z|>R — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг {|z|<R} - кругом сходимости.

Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

${1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}$

(По поводу определения верхнего предела $\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}$ см. статью "Частичный предел последовательности".)

Пусть F(z) и G(z) - два степенных ряда с радиусами сходимости R_F и R_G. Тогда

$R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}$

$R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}$

$R_{F'}\, = \,R_F$

Если у ряда G(z) свободный член нулевой, тогда

$R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G$

Вопрос о сходимости ряда в точках границы {|z|=R} круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

Признак Д’Аламбера: Если при n>N и $α$ > 1 выполнено неравенство

$\left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right)$

тогда степенной ряд $\Sigma \,a_n z^n$ сходится во всех точках окружности {|z|=R} абсолютно и равномерно по z.

Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда $\Sigma \,a_n z^n$ положительны и последовательность a_n монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности {|z|=1}, кроме, быть может, точки z=1.
Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке z=z₀. Тогда он сходится равномерно по z на отрезке, соединяющем точки 0 и z₀.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра z является предметом изучения теории аналитических функций.