Степенная функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Степенная функция комплексного переменного f(z) = zn с целочисленным показателем определяется с помощью аналитического продолжения аналогичной функции вещественного аргумента. Для этого применяется показательная форма записи комплексных чисел.
А именно, известно, что любое комплексное число может быть представлено через его модуль и аргумент с помощью формулы Эйлера в виде z = | z | eiargz. Пользуясь этим, запишем пока формальное выражение для степенной функции:
Исходя из этого, можно сделать вывод, что на вещественной прямой введенная таким выражением функция будет совпадать с классической степенной функцией. Далее, степенная функция с целочисленным показателем является аналитической во всей комплексной плоскости, как произведение конечного числа экземпляров тождественного отображения f(z) = z. Согласно теореме единственности эти два признака достаточны для единственности полученного аналитического продолжения
Пользуясь таким определением, можно сразу сделать вывод о том, что степенная функция комплексного переменного обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В частности, она не будет однолистной в произвольной области комплексной плоскости при n > 1. Это связано с тем, что отображение комплексной плоскости, реализованное степенной функцией, переводит точки 
в одну и ту же точку. Следовательно, максимальными областями однолистности для степенной функции будут секторы комплексной плоскости, определяемые соотношениями 
