Первая квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Первая квадратичная форма или метрическая форма поверхности ― квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

[править] Определение

Пусть поверхность задана уравнением

r = r(u,v),

где u и v ― внутренние координаты на поверхности;

dr = r_udu + r_vdv

― дифференциал радиус-вектора r вдоль выбранного направления смещения из точки M в бесконечно близкую точку M'. Квадрат главной липшицевой части приращения длины | MM' | выражается квадратом дифференциала dr:

и называется первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

E = | r_u | ², , G = | r_v | ².

или в тензорных символах

dr² = g_1,1du² + 2g_1,2dudv + g_2,2dv².

Тензор g_i,j называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

[править] Свойства

• Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:

EG − F² > 0.