Механическое равновесие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Наиболее распространённое определение механического равновесия:

Система находится в положении механического равновесия, когда сумма всех сил, действующих на каждую её частицу, равна нулю.

Однако такое определение неприменимо в механике сплошной среды, где принимается гипотеза сплошности. К тому же данное определение ничего не говорит об одной из наиболее важных характеристик — его устойчивости.

Другое, более общее и распространённое определение, это:

Система находится в положении механического равновесия, если её положение в конфигурационном пространстве — точка, в которой градиент потенциальной энергии равен нулю.

Так как энергия и силы связаны фундаментальными зависимостями, это определение эквивалентно первому. Однако определение через энергию может быть расширено для того, чтобы получить информацию об устойчивости положения равновесия.

Приведём пример для системы с одной степенью свободы. В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной. Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

• Вторая производная < 0: потенциальная энергия находится в состоянии локального максимума, это означает, что положение равновесия неустойчиво. Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему.
• Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным. Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.
• Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво. Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия.

Если система имеет несколько степеней свободы, то можно получить различные результаты для различных направлений, но положение равновесия будет устойчиво, только если оно устойчиво во всех направлениях.