See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Локальная теорема Муавра-Лапласа — Википедия

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Локальная теорема МуавраЛапласа

Содержание


[править] Применение

Используется в теории вероятностей.

При рассмотрении количества m появлений события A в n испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что m заключено между некоторыми значениями a и b. При достаточно больших n промежуток [a,b] содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения:

p_n(m)=\frac{n!}{m!(n - m)!}p^mq^{n-m}

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что p фиксированно, а n\rightarrow+\infty. Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

[править] Формулировка

Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина x_m = \frac{m - np}{\sqrt{npq}} ограничена равномерно по m и n (-\infty < a \le x_m \le b < +\infty), то

P_n(m) = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\exp(-\frac{x_m^2}{2})(1 + \alpha_n(m))

где \left| \alpha_n(m) \right| < \frac{c}{\sqrt{n}}, c > 0, c - постоянная.

Приближённую формулу

P_n(m) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\exp(-\frac{x_m^2}{2})

рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.

[править] Доказательство

Для доказательства Теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:

s!=\sqrt{2\pi}s^{s+1/2}e^{-s}e^{\theta_s} (1)

где 0 < θs < 1 / 12s. При больших s величина θ очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде,

s!=\sqrt{2\pi}s^{s+1/2}e^{-s} (2)

даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю, когда s\rightarrow+\infty.

Нас будут интересовать значения m, не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном p условие n\rightarrow+\infty будет так же означать, что

m\rightarrow+\infty, n-m\rightarrow+\infty (3)

Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем

p_n(m)=\sqrt{\frac{n}{2\pi m(n-m)}}\left(\frac{np}{m}\right)^{m}\left(\frac{nq}{n-m}\right)^{n-m} (4)

Так же понадобится использование отклонение относительной частоты от наивероятнейшего значения

x_m=\frac{m}{n}-p (5)

Переписываем полученное ранее биномиальное распределение с факториалами, заменёнными по приближённой формуле Стирлинга:

p_n(m)=\left[2\pi n(p+x_m)(q-x_m)\right]^{-1/2}\left(1+\frac{x_m}{p}\right)^{-n(p+x_m)}\left(1-\frac{x_m}{q}\right)^{-n(q-x_m)} (6)

Предположим, что

xm < pq (7)

И, взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

-n\left[(p+x_m)\ln{\left(1+\frac{x_m}{p}\right)} + (q-x_m)\ln{\left(1-\frac{x_m}{q}\right)}\right]=

-n\left[(p+x_m)\left(\frac{x_m}{p}-\frac{x_m^2}{2p^2}+\frac{x_m^3}{3p^3}-\cdots\right)+(q-x_m)\left(-\frac{x_m}{q}-\frac{x_m^2}{2q^2}-\frac{x_m^3}{3q^3}-\cdots\right)\right] (8)

Располагаем члены этого разложения по степеням xm:

-n\left[\frac{x_m^2}{2}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)-\frac{x_m^3}{6}\left(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{q^2}\right)+\cdots\right] (9)

Предположим, что при n\rightarrow+\infty

nx_m^3\rightarrow0 (10)

Это условие, как уже было указанно выше, означает, что рассматриваются значения m, не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).

Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен

-\frac{n}{2pq}x_m^2 (11)

Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем:

p_n(m)\approx\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\right)\exp{\left(-\frac{n}{2pq}x_m^2\right)} (12)

Обозначив

\sigma=\sqrt{\frac{pq}{n}} (13)

Переписываем (12) в виде:

p_n(m)\approx\frac{1}{n}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp{\left(-\frac{x_m^2}{2\sigma^2}\right)}=\frac{1}{n}\varphi(x_m) (14)

Где \varphi(x_m) - нормальная функция.

Поскольку в интервале [m,m + 1) имеется только одно целое число m, то можно сказать, что pn(m) есть вероятность попадания m в интервал [m,m + 1). Из (5) следует, что изменению m на 1 соответствует изменение xm на

\Delta x=\frac{1}{n} (15)

Поэтому вероятность попадания m в интервал [m,m + 1) равна вероятности попадания xm в промежуток [xm,xm + Δx):

P(x_m \le x_m \le x_m + \Delta x) = \varphi(x_m)\Delta x (16)

Когда n\rightarrow+\infty, \Delta x\rightarrow+\infty и равенство (16) показывает, что нормальная функция \varphi(x) является плотностью случайной переменной xm

Таким образом, если n\rightarrow+\inftynx^3\rightarrow0 то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива ассимптотическая формула (16), в которой \varphi(x) - нормальная функция с xm = 0 и \sigma^2=\frac{pq}{n}.

Таким образом теорема доказана.

[править] Литература

  • Ширяев, А.Н. "Вероятность", Наука. М.: 1989.
  • Чистяков, В.П. "Курс теории вероятностей", М., 1982.


На других языках


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -