Инверсия (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности или сферы есть преобразование определённого типа евклидовой плоскости или евклидова пространства с выколотой точкой.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Координатные представления
- 3.1 Декартовы координаты
- 3.2 Полярные координаты
4 Ссылки

[править] Определение

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность $Γ$ с центром $O$ (называемым полюсом или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом $R$ . Инверсия точки $P$ относительно $Γ$ есть точка $P'$ , лежащая на луче $O P$ такая, что

$|OP'|\cdot|OP|=R^2.$

Инверсия превращает внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» $\infty$ и считают её инверсией $O$ , а $O$ инверсией $\infty$ . В этом случае, инверсия является преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы.

[править] Свойства

Пусть i обозначает инверсию относительно окружности $Γ$ с центром O, тогда

Инверсия является инволюцией, т.е. i(i(P)) = P для любой P;
прямая проходящая через O переходит в себя;
прямая не проходящая через O переходит в окружность проходящую через O;
окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O;
окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящей через O (но образ её центра не является центром образа);
инверсия является антиголоморфным отображением комплексной плоскости. В частности:
- инверсия является конформным отображением (т. е. она сохраняет углы между кривыми).
Окружность или прямая перпендикулярная к $Γ$ переходит в себя.