Идеальный газ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Идеа́льный газ — математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями. Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна).

[править] Классический идеальный газ

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

объём частицы газа равен нулю (то есть диаметр молекулы $d$ пренебрежимо мал по сравнению со средним расстоянием между ними, $nd^3 \to 0$ ) ^[1];
импульс передается только при соударениях (то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях);
суммарная энергия частиц газа постоянна (то есть нет передачи энергии за счет передачи тепла или излучением)

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно сумме импульсов в единицу времени, переданной при столкновении частиц со стенкой, энергия — сумме энергий частиц газа. Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева — Клапейрона

p = n k T,

где $p$ — давление, $n$ — концентрация частиц, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура.

Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям описывается распределением Больцмана:

$\bar n_k = ae^{ - {{\varepsilon _k } \over {kT}}},$

где $\bar n_k$ — среднее число частиц, находящихся в $k$ -ом состоянии с энергией $\varepsilon _k$ , а константа $a$ определяется условием нормировки:

$\sum{n_k}=N,$

где $N$ — полное число частиц.

Распределение Больцмана является предельным случаем (квантовые эффекты пренебрежимо малы) распределений Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа. Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера:

C p - C v = R,

где $R$ — универсальная газовая постоянная, $C p$ — молярная теплоемкость при постоянном давлении, $C v$ — молярная теплоемкость при постоянном объёме.

[править] Квантовый идеальный газ

Понижение температуры и увеличение плотности газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между частицами становится соизмеримым с длинной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу (см. Вырожденный газ). В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми — Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) — статистика Бозе — Эйнштейна (Бозе-газ).

[править] Ферми-газ

Для фермионов действует принцип Паули, запрещеющий двум тождественным фермионам находиться в одном квантовом состоянии. Вследствие этого при абсолютном нуле температуры импульсы частиц и, соответственно, давление и плотность энергии Ферми-газа отличны от нуля и пропорциональны числу частиц в единице объёма. Существует верхний предел энергии, который могут иметь частицы Ферми-газа при абсолютном нуле (Энергия Ферми $E F$ ). Если энергия теплового движения частиц Ферми-газа значительно меньше энергии Ферми, то это состояние называют вырожденным газом.

Особенностью Ферми-газов является крайне слабая зависимость давления от температуры: в нерелятивистском случае давление $P \sim K \rho ^{5/3}$ , в релятивистском — $P_{rel} \sim K_{rel}\rho ^{4/3}$ .

Примерами Ферми-газов являются электронный газ в металлах, сильнолегированных и вырожденных полупроводниках, вырожденный газ электронов в белых карликах и вырожденный газ нейтронов в нейтронных звёздах.

[править] Бозе-газ

Так как на бозоны принцип Паули не распостраняется, то при снижении температуры Бозе-газа ниже некоторой температуры $T 0$ возможен переход бозонов на наинизший энергетический уровень с нулевым импульсом, то есть образоввание конденсата Бозе — Эйнштейна. Поскольку давление газа равно сумме импульсов частиц, переданной стенке в единицу времени, при $T < T 0$ давление Бозе-газа зависит только от температуры.

Примерами Бозе-газов являются различного рода газы квазичастиц (слабых возбуждений) в твёрдых телах и жидкостях, сверхтекучая компонента гелия II, конденсата Бозе — Эйнштейна куперовских электронных пар при сверхпроводимости. Примером ультрарелятивистского Бозе-газа является фотонный газ.