Закон сохранения импульса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Зако́н сохране́ния и́мпульса утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Однако этот закон сохранения верен и в случаях, когда ньютоновская механика неприменима (релятивистская физика, квантовая механика).

Как и любой из законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства

[править] Вывод из формализма Ньютона

Рассмотрим выражение определения силы

$\frac{d\vec {p}}{dt}=\vec {F}.$

Перепишем его для системы из n частиц:

$\sum_{n=1}^{N} \frac{\vec{dp_n}}{dt}=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\ \vec{F}_{n,m}, \qquad m\ne n, \qquad\qquad (1)$

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида $\vec {F}_{a,b}$ и $\vec {F}_{b,a}$ будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть $\vec{F}_{a,b} = -\vec{F}_{b,a}.$ Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

$\sum_{n=1}^{N} \frac{d\vec{p}_n}{dt}=0$

или

$\!\qquad \frac {d}{dt}\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.$

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

$\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad\!$ (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Точка обрыва зависит от продолжительности действия силы

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса $d\vec {p}$ зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия. Это легко продемонстрировать на примере. Пусть на нити висит шарик массы $M.\!$ Если медленно тянуть за нижнюю нить силой $F,\!$ то обрывается верхняя нить, так как за время действия силы тело успевает приобрести и некоторую скорость (некоторый импульс). Если же резко потянуть за нижнюю нить, она обрывается. Шарик в этом случае продолжает висеть (он не успевает приобрести заметную скорость, поскольку импульс силы $d\vec {p} = \vec {F}dt$ очень мал.

[править] Вывод из формализма Лагранжа

Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела $\mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t),$ зависящую от обобщённых координат $q_i\,,$ обобщённых скоростей $\dot q_i$ и времени t. Здесь точка над q обозначает дифференцирование по времени, $\dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}.$ Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда $q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a$ для каждой $\!a$ -той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: $\vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi},$ где $\vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}.$ В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

$\delta \mathcal L = \sum_{a}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \vec r_a} \delta \vec r_a = \vec{\xi}\ \sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a},$

где сумирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: $\partial \mathcal L =0.$ С учётом того, что вектор $\vec \xi$ — произвольный, последнее требование выполняется при:

$\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}=0.$

Воспользуемся уравнением Лагранжа $\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0:$

$\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a} = \sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = 0 .$

Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:

$\vec P = \sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.$ .

Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: $\mathcal L = \frac{mv^2}{2},$ нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме: