Закон Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

$\frac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = const$

Здесь

ρ

— плотность жидкости,

v

— скорость потока,

h

— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

p

— давление.

Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.

Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли. (Не путать с дифференциальным уравнением Бернулли.)

Для горизонтальной трубы $h = c o n s t$ и уравнение Бернулли принимает вид: $\frac{\rho v^2}{2}+p=const$ .
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности $ρ$ : $v\frac{dv}{dx}=-\frac {1}{\rho}\cdot \frac {dp}{dx}$ .

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового ( $ρ g h$ ), статического (p) и динамического ( $\frac{\rho v^2}{2}$ ) давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров, водо- и пароструйных насосов.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела всегда в точности равна нулю.

[править] Одно из применений

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

$\rho g h + p_0 = \frac{\rho v^2}{2} + p_0$ ,

где

p 0

— атмосферное давление,

h

— высота столба жидкости в сосуде,

v

— скорость истечения жидкости.

Отсюда: $v = \sqrt{2gH}$ . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты $h$ .